Teoria Numeros C Ivorra Castillo

216 Capítulo 9. La teoría de los géneros
p = 2, de manera que para cada forma cuadrática f de discriminante D se cumple
que χ p (f) =χ ∗ p(
[a]
)
, donde a es cualquier número primo con p representado
por f.
La función χ ∗ p es constante igual a1sip ∤ D, eselsímbolo de Legendre de
p si p | D es impar y es una de las funciones 1,δ,ɛ,ɛδ si p = 2. Es importante
notar que cualquiera de ellas es multiplicativa, es decir, χ ∗ p(xy) =χ ∗ p(x)χ ∗ p(y),
así como que χ ∗ p(x) sólo depende del resto de x módulo D (si D es par pero
8 ∤ D, entonces χ ∗ 2 =1,δ, y en realidad depende del resto de x módulo 4).
9.2 Géneros de formas y módulos
Definición 9.8 Diremos que dos formas cuadráticas de un mismo discriminante
D son del mismo género si tienen los mismos caracteres.
Esto completa la clasificación de las formas cuadráticas binarias: éstas se
dividen en órdenes según su discriminante, las formas de cada orden se dividen
asuvezengéneros según sus caracteres, y las formas de un mismo género se distribuyen
en clases de equivalencia (en Z). Por último cada clase de equivalencia
puede dividirse en dos clases de equivalencia estricta.
Según los teoremas 9.2 y 9.7, dos formas son del mismo género si y sólo si
representan los mismos enteros módulo cualquier número natural n>1.
Ejemplo En el capítulo VI calculamos las formas cuadráticas reducidas de
discriminante D = −504 = −2 3 · 3 2 · 7. Para este discriminante tenemos tres
caracteres no triviales, χ 2 , χ 3 y χ 7 . El carácter módulo 2 viene inducido por
χ ∗ 2 = ɛ. La tabla siguiente contiene todas las formas reducidas de discriminante
D junto con su sistema de caracteres. Vemos que las ocho clases de equivalencia
se reparten en cuatro géneros, a dos clases por género.
Forma χ 2 χ 3 χ 7
x 2 + 126y 2 + + +
7x 2 +18y 2 + + +
9x 2 +14y 2 + − +
2x 2 +63y 2 + − +
10x 2 +4xy +13y 2 − + −
10x 2 − 4xy +13y 2 − + −
5x 2 +4xy +26y 2 − − −
5x 2 − 4xy +26y 2 − − −
En particular notamos que, aunque tres caracteres podrían definir ocho
géneros, de hecho sólo aparecen cuatro. Concretamente sucede que χ 2 = χ 7 .
Todas las regularidades que se aprecian en este ejemplo pueden ser explicadas
teóricamente. Para ello conviene reformular la teoría de los géneros en términos
de ideales, donde tenemos una estructura de grupo.