Teoria Numeros C Ivorra Castillo

6.3. Grupos de clases 143
Recordemos que, si O m es un orden cuadrático, el grupo de clases que
habíamos definido en 4.16 (teniendo en cuenta las observaciones tras 3.29) es
Im(O)/P ∗ m(O ∗ m ), donde Im(O) ∗ es el grupo de los ideales fraccionales del orden
maximal O 1 que se expresan como cocientes de ideales primos con m. El teorema
3.27 nos da un isomorfismo entre Im(O) ∗ y un subgrupo del grupo de los módulos
con anillo de coeficientes O m (los que se expresan como cociente de ideales de
norma prima con m). Al componerlo con la proyección en el grupo de clases
de similitud (que hemos definido en esta sección) obtenemos un homomorfismo
que es suprayectivo por el teorema anterior. Su núcleo está formado por los
cocientes de ideales a/b primos con m que, vistos como módulos de O m , son
(estrictamente) similares a O m , es decir, tales que existe un γ ∈ K ∗ (de norma
positiva) de modo que α/β = γO m o, equivalentemente α = γβ. El teorema
siguiente prueba que (para la similitud no estricta) este núcleo es precisamente
Pm(O ∗ m ):
Teorema 6.12 Sea K un cuerpo cuadrático y a, b dos ideales de I m (O m ) tales
que existe un γ ∈ K ∗ (de norma positiva) de modo que a = γb. Entonces
γ = β/α, para ciertos α, β ∈ O m de norma (positiva) prima con m.
Demostración: Recordemos del capítulo III (ver las observaciones tras el
teorema 3.29) que I m (O m ) es el conjunto de los ideales de norma prima con m.
Expresemos γ = β/α, para ciertos α, β ∈ O 1 , el orden maximal de K.
Tenemos que αa = βb, en principio considerando a a y b como ideales de O m ,
pero multiplicando por O 1 podemos verlos como ideales de O 1 . Entonces, en
virtud de 3.27, los ideales a y b son primos con m, luego los primos que dividen a
m han de dividir a α yaβ con la misma multiplicidad. Aplicando el teorema 3.7
podemos suponer que ninguno de ellos divide a β (y, por consiguiente, tampoco
a α).
En particular (α)+(m) = 1, luego existen α ′ ,ξ ∈ K tales que αα ′ =1+ξm.
Cambiando α y β por αα ′ y βα ′ se sigue cumpliendo que (α)+(m) = 1 (es decir,
α es primo con m luego β también), pero además ahora α ∈ 1+(m) ⊂ O m .
Más aún (α) ∈ I m (O m ) (pues su norma es prima con m).
Falta probar que también β ∈ O m . Por el teorema 3.27 podemos escribir
(α)a = ( (β) ∩ O m
)
b, lo que prueba que (α)a ⊂ b (vistos como ideales en Om ).
Ahora la relación αa = βb muestra que βb ⊂ b, es decir, que β es un coeficiente
de b, luego por 3.28 tenemos que β ∈ O m y, al igual que sucedía con α, también
(β) ∈ I m (O m ).
Por último, si γ tiene norma positiva podemos exigir que α y β también la
tengan (cambiándolos si es preciso por αα y βα).
Así pues, tenemos que el grupo de clases de similitud no estricta de los
módulos cuyo anillo de coeficientes es el orden cuadrático O m es isomorfo al
grupo de clases H(O m )=Im(O)/P ∗ m(O ∗ m ). En particular su orden viene dado
por el teorema 4.17.
Más aún, también podemos representar el grupo de clases de similitud estricta
de O m como un grupo de clases de ideales del orden maximal. Basta