Teoria Numeros C Ivorra Castillo

More documents

Recommendations

Info

154 Capítulo 6. Cuerpos cuadráticos asociada a 2 0 , luego [3 1 ] 4 =[2 0 ]. Por lo tanto [3 1 ] 8 =[2 0 ] 2 = 1 y el orden de [3 1 ] resulta ser 8. Como el número de clases es a lo sumo 20, en realidad ha de ser 8 o bien 16. Ahora bien, si estudiamos 7 0 = 〈 7, √ −161 〉 vemos que su forma asociada es 7x 2 +23y 2 , distinta de la principal y de la asociada a [2 0 ]. Por lo tanto [7 0 ] es una clase de orden 2 que no es potencia de [3 1 ] (la única potencia de orden 2es[2 0 ]). Por consiguiente el número de clases es 16 y el grupo de clases está generado por [3 1 ]y[7 0 ]. Ejercicio: Calcular la tabla del grupo de clases del ejemplo anterior. Ejemplo Consideremos ahora K = Q (√ −14 ) . Vamos a calcular los grupos de clases de los órdenes O 1 y O 3 de K, así como el epimorfismo del primero en el segundo. Puesto que la mayor parte de las comprobaciones son mecánicas, nos limitaremos a exponer los resultados y esbozar cómo pueden obtenerse. x 2 + 126y 2 1 1 x 2 +14y 2 ( √ ) ( √ ) 9x 2 +14y 2 23, 9+3 −14 23, 3 − −14 ( √ ) ( √ ) 7x 2 +18y 2 7, 3 −14 7, −14 2x 2 +7y 2 ( √ ) ( √ ) 2x 2 +63y 2 2, 3 −14 2, −14 ( √ ) ( √ ) 5x 2 − 4xy +26y 2 5, 3+3 −14 5, 1+ −14 3x 2 +2xy +5y 2 ( √ ) ( √ ) 10x 2 − 4xy +13y 2 13, 2 − 3 −14 13, 5 − −14 ( √ ) ( √ ) 5x 2 +4xy +26y 2 5, 3 − 3 −14 5, 1 − −14 3x 2 − 2xy +5y 2 ( √ ) ( √ ) 10x 2 +4xy +13y 2 13, 2+3 −14 13, 5+ −14 Es fácil obtener todas las formas cuadráticas reducidas de discriminante −4 · 14. Resultan ser las cuatro que aparecen en la última columna de la tabla. Esto nos dice que el número de clases de Q (√ −14 ) es h = 4. El teorema 4.18 nos da entonces que el número de clases de O 3 es h 3 =8. Seguidamente vamos factorizando primos. Consideremos el caso del 2: • Claramente 2 = p 2 , donde p = ( 2, √ −14 ) = 〈 2, √ −14 〉 . • La forma cuadrática asociada es 2x 2 +7y 2 , que ya está reducida, luego situamos el ideal en la tercera columna, al lado de esta forma. • Calculamos p ∩ O 3 = 〈 2, 3 √ −14 〉 y lo situamos en la segunda columna. • Calculamos la forma cuadrática asociada a este ideal, que ya está reducida yes2x 2 +63y 2 . La situamos en la primera columna. Nos saltamos el 3, pues no podemos bajarlo a O 3 . Repetimos el proceso con el 5, el 7 y el 13 (el 11 se conserva primo). Con ello completamos toda la tabla salvo la segunda fila. Los primos siguientes nos dan formas ya calculadas en la primera fila. Podemos seguir tanteando hasta encontrar el 23 o bien observar
6.5. Cálculo de grupos de clases 155 que necesitamos un ideal similar a 1, por lo que queremos un primo representable por la forma x 2 +14y 2 . Entonces no es difícil pensar en 23. Con esto hemos encontrado ocho ideales de O 3 cuyas formas reducidas son todas distintas, luego representan las ocho clases posibles. Cada uno se corresponde con el ideal de O 1 que está a su lado en la tercera columna. Éstos últimos son similares por parejas y representan las cuatro clases de ideales de O 1 . Ejercicio: Comprobar que el grupo de clases de O 1 en el ejemplo anterior es cíclico y está generado por cualquiera de los divisores de 5. Así mismo, el grupo de clases de O 3 es de tipo C 4 × C 2, y dos generadores son un divisor de 5 y el divisor de 2. Ejercicio: Comprobar que existen tres clases de equivalencia no estricta de formas cuadráticas de discriminante −56.
Page 1:
Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE N
Page 5 and 6:
Índice General Prefacio ix Capítu
Page 7:
ÍNDICE GENERAL vii 11.7 Enteros ci
Page 11 and 12:
Capítulo I Introducción a la teor
Page 13 and 14:
1.2. El Último Teorema de Fermat 3
Page 15 and 16:
1.3. Factorización única 5 El nom
Page 17 and 18:
1.3. Factorización única 7 La cla
Page 19 and 20:
1.4. La ley de reciprocidad cuadrá
Page 21 and 22:
1.5. El teorema de Dirichlet 11 das
Page 23 and 24:
1.6. Ecuaciones diofánticas 13 un
Page 25 and 26:
1.7. Ecuaciones definidas por forma
Page 27 and 28:
1.7. Ecuaciones definidas por forma
Page 29 and 30:
Capítulo II Cuerpos numéricos El
Page 31 and 32:
2.1. Enteros algebraicos 21 Teorema
Page 33 and 34:
2.2. Discriminantes 23 Demostració
Page 35 and 36:
2.3. Módulos y órdenes 25 Ejercic
Page 37 and 38:
2.3. Módulos y órdenes 27 Ejemplo
Page 39 and 40:
2.3. Módulos y órdenes 29 Demostr
Page 41 and 42:
2.3. Módulos y órdenes 31 Es impo
Page 43 and 44:
2.4. Determinación de bases entera
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
2.5. Normas e Índices 45 Demostrac
Page 57:
2.5. Normas e Índices 47 Por lo ta
Page 60 and 61:
50 Capítulo 3. Factorización idea
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
78 Capítulo 4. Métodos geométric
Page 90 and 91:
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
100 Capítulo 4. Métodos geométri
Page 112 and 113:
102 Capítulo 4. Métodos geométri
Page 114 and 115: 104 Capítulo 4. Métodos geométri
Page 122 and 123: 112 Capítulo 5. Fracciones continu
Page 142 and 143: 132 Capítulo 6. Cuerpos cuadrátic
Page 167 and 168: Capítulo VII Números p-ádicos En
Page 169 and 170: 7.1. Valores absolutos 159 Propieda
Page 171 and 172: 7.1. Valores absolutos 161 Isometr
Page 173 and 174: 7.1. Valores absolutos 163 Demostra
Page 175 and 176: 7.2. Cuerpos métricos discretos 16
Page 181 and 182: 7.3. Criterios de existencia de ra
Page 183 and 184: 7.4. Series en cuerpos no arquimedi
Page 191 and 192: Capítulo VIII El teorema de Hasse-
Page 193 and 194: 8.1. Formas cuadráticas 183 que w
Page 195 and 196: 8.2. Formas cuadráticas sobre cuer
Page 201 and 202: 8.3. Formas binarias en cuerpos p-
Page 207 and 208: 8.4. El teorema de Hasse-Minkowski
Page 209 and 210: 8.4. El teorema de Hasse-Minkowski
Page 211 and 212: 8.5. La ley de reciprocidad cuadrá
Page 213 and 214: 8.6. Conclusión de la prueba 203 M
Page 215 and 216:
8.6. Conclusión de la prueba 205 R
Page 217:
8.6. Conclusión de la prueba 207 T
Page 220 and 221:
210 Capítulo 9. La teoría de los
Page 222 and 223:
Page 224 and 225:
Page 226 and 227:
Page 228 and 229:
Page 230 and 231:
Page 232 and 233:
Page 234 and 235:
Page 236 and 237:
Page 238 and 239:
Page 240 and 241:
Page 242 and 243:
Page 244 and 245:
Page 246 and 247:
Page 248 and 249:
Page 250 and 251:
Page 252 and 253:
Page 254 and 255:
Page 256 and 257:
Page 258 and 259:
Page 260 and 261:
Page 262 and 263:
Page 264 and 265:
254 Capítulo 10. El Último Teorem
Page 266 and 267:
Page 268 and 269:
Page 270 and 271:
Page 272 and 273:
262 Capítulo 11. La función dseta
Page 274 and 275:
Page 276 and 277:
Page 278 and 279:
Page 280 and 281:
Page 282 and 283:
Page 284 and 285:
Page 286 and 287:
Page 288 and 289:
Page 290 and 291:
Page 292 and 293:
Page 294 and 295:
Page 296 and 297:
Page 298 and 299:
Page 300 and 301:
Page 302 and 303:
Page 304 and 305:
Page 306 and 307:
Page 308 and 309:
Page 310 and 311:
300 Capítulo 12. Sumas de Gauss Se
Page 312 and 313:
302 Capítulo 12. Sumas de Gauss Te
Page 314 and 315:
304 Capítulo 12. Sumas de Gauss Cl
Page 316 and 317:
306 Capítulo 12. Sumas de Gauss De
Page 318 and 319:
308 Capítulo 12. Sumas de Gauss Ad
Page 320 and 321:
310 Capítulo 12. Sumas de Gauss De
Page 322 and 323:
312 Capítulo 12. Sumas de Gauss Po
Page 325 and 326:
Capítulo XIII Cuerpos ciclotómico
Page 327 and 328:
13.2. El primer factor del número
Page 329 and 330:
Page 331 and 332:
Page 333 and 334:
13.3. Los números de Bernoulli 323
Page 335 and 336:
Page 337 and 338:
Page 339 and 340:
13.4. El segundo factor del número
Page 341 and 342:
13.4. El segundo factor del número
Page 343 and 344:
13.5. Numeros p-ádicos ciclotómic
Page 345 and 346:
13.5. Numeros p-ádicos ciclotómic
Page 347 and 348:
13.6. La caracterización de los pr
Page 349 and 350:
Page 351 and 352:
Page 353 and 354:
Page 355:
Page 358 and 359:
348 Capítulo 14. Números trascend
Page 360 and 361:
Page 362 and 363:
Page 364 and 365:
Page 366 and 367:
Page 368 and 369:
Page 370 and 371:
Page 373:
Bibliografía [1] Baker, A. Breve i
Page 376 and 377:
Índice de Materias algebraico, 13
Page 378:
por una forma, 180 resto cuadrátic
show all

Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?