Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.4. El carácter de un cuerpo cuadrático 229
Expresando este número como a + b √ d (con a, b enteros o semienteros), esta
ecuación conduce a que α¯ρ t = a o bien α¯ρ t = b √ d (con a, b enteros). Teniendo
en cuenta los signos de las normas, el segundo caso es imposible, luego α¯ρ t = a.
Digamos que t =2k + u, donde u =0, 1. Se cumple que ¯ρ 2 = N(ρ)/η, luego
podemos escribir α¯ρ u /η k = a/ N(ρ) k . El primer miembro es entero y el segundo
es racional, luego α¯ρ u /η k = a ′ ∈ Z.
Si u = 0 queda (α) =(a ′ ) = (1), puesto que (α) no es divisible entre enteros
racionales. Supongamos finalmente que u =1,demodoque(α) =(a ′ /¯ρ).
Tenemos que ρ | a ′ . El hecho de que (ρ) sea ambiguo implica que los factores
primos de (ρ) son todos distintos dos a dos y, si p es uno de ellos, entonces p 2 = p
para un cierto primo p tal que p | N(ρ) | N(a ′ ), luego p | a ′ yasí concluimos que
N(ρ) | a ′ .
Consecuentemente a ′ /¯ρ = a ′ ρ/ N(ρ) =a ′′ ρ, para un cierto entero racional
a ′′ , y nos queda (α) =(a ′′ ρ)=(ρ).
Con esto queda demostrada la ley de reciprocidad cuadrática. Notemos que,
sin el teorema 9.19, el teorema anterior prueba que |H : H 2 | =2 m−1 , lo cual es
suficiente para probar la ley de reciprocidad. Todavía no hemos probado que el
número de géneros es exactamente la mitad del número de géneros posibles en
órdenes no maximales. Esto lo veremos más tarde. Terminamos la sección con
algunas consecuencias inmediatas del teorema anterior:
• Hay cuerpos cuadráticos (tanto reales como imaginarios) con un número
de clases arbitrariamente grande, pues si llamamos n al número de clases
en cada género, tenemos la relación h ′ = gn =2 m−1 n, y basta tomar
determinantes divisibles entre muchos primos.
• El número de clases estrictas h ′ es impar si y sólo si el discriminante D es
divisible por un único primo (pues el número de géneros es el número de
divisores elementales pares del grupo de clases).
• En particular, una condición necesaria para que un cuerpo tenga factorización
única (h = 1) es que el discriminante sea divisible por un solo
primo en el caso de los cuerpos imaginarios o cuerpos reales con unidades
de norma negativa, y que el discriminante sea divisible por a lo sumo dos
primos en el caso de cuerpos reales sin unidades de norma negativa.
9.4 El carácter de un cuerpo cuadrático
La ley de reciprocidad cuadrática tiene muchas repercusiones sobre los cuerpos
cuadráticos. En esta sección veremos que determina unas reglas muy sencillas
sobre el tipo de factorización de los primos racionales. Ya hemos usado
en varias ocasiones que un primo racional p puede factorizar de tres formas
distintas en un cuerpo cuadrático:
Definición 9.23 Sea K un cuerpo cuadrático y p un primo racional. Diremos
que p se escinde en K si p = pq, donde p y q son dos primos distintos de K.