Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.5. La representación logarítmica 99
que habíamos encontrado se expresa como α = ɛα i para un cierto i y una cierta
unidad ɛ de O. Hemos demostrado que todo y ∈ S se puede expresar en la forma
y = px(α −1
i )x(ɛ).
Definimos X = S ∩ ⋃ m
i=1 x(α−1 i )A. Se trata claramente de un conjunto
acotado y tenemos que todo y ∈ S cumple y ∈ x(ɛ)X para cierta unidad ɛ de
O, tal y como queríamos probar.
Esto determina la estructura del grupo de las unidades de cualquier orden
de cualquier cuerpo numérico.
Teorema 4.23 (Teorema de Dirichlet) Sea O un orden de un cuerpo numérico
de grado n = s +2t. Entonces existen unidades ɛ 1 ,...,ɛ r en O (donde
r = s + t − 1) tales que toda unidad ɛ ∈ O se expresa de forma única como
ɛ = ζɛ m1
1 ···ɛ mr
r , donde ζ ∈ O es una raíz de la unidad y m 1 ,...,m r son enteros
racionales.
Demostración: Sea U el grupo de las unidades de O. Basta tomar unidades
ɛ 1 ,...,ɛ r ∈ U tales que l(ɛ 1 ),...,l(ɛ r ) sean una base de l[U].
Definición 4.24 Un conjunto de unidades ɛ 1 ,...,ɛ r en las condiciones de teorema
anterior se llama un sistema fundamental de unidades de O.
Los sistemas fundamentales de unidades de un orden pueden ser vacíos. Esto
ocurre cuando r = s+t−1 = 0, lo cual sólo es posible si s =1,t = 0 (y entonces
n = s +2t = 1, o sea, K = Q), o bien s =0,t = 1 (y entonces n =2yK es un
cuerpo cuadrático imaginario).
Esto demuestra que Q y los cuerpos cuadráticos imaginarios son los únicos
cuerpos con un número finito de unidades. Las unidades de Q son obviamente
±1. Las de los cuerpos cuadráticos imaginarios son las raíces de la unidad que
contienen. Ahora bien, los únicos cuerpos ciclotómicos de grado 2 son Q(i)
(de orden 4) y Q (√ −3 ) (de orden 3y6alavez). Así pues, las unidades de
cualquier otro cuerpo cuadrático imaginario son también {±1}, mientras que
las de Q(i) son {±1, ±i} y las de Q (√ −3 ) son las raíces sextas de la unidad
{±1, ±ω, ±ω 2 }, donde ω = ( −1+ √ −3 ) /2.
Los sistemas fundamentales de los cuerpos cuadráticos reales y de los cúbicos
puros tienen un sólo miembro. En estos casos si ɛ es un sistema fundamental
de unidades se dice simplemente que es una unidad fundamental.
La prueba del teorema de Dirichlet no es constructiva, es decir, no nos permite
obtener en la práctica un sistema fundamental de unidades. Resolveremos
enseguida este problema, pero antes observemos lo siguiente:
Un sistema fundamental de unidades no es más que una base de un cierto
Z-módulo, luego no es único. Sin embargo podemos asociar a cada orden un invariante
concerniente a sus sistemas fundamentales de unidades de forma similar
a como asociamos el discriminante a las bases de un módulo.
Sea ɛ 1 ,...,ɛ r un sistema fundamental de unidades de un orden O de un
cuerpo numérico. Entonces l(ɛ 1 ),...,l(ɛ r ) forman una base del retículo l[U],