Teoria Numeros C Ivorra Castillo

244 Capítulo 9. La teoría de los géneros
primos impares en el número de clases, terminamos el capítulo con un resultado
elemental sobre la cuestión. Notar que no requiere teoría de géneros.
Teorema 9.36 Supongamos que d = r 2 − 4g p < 0 es libre de cuadrados, donde
g y p son primos y r es impar. Supongamos además que |d| > 4g. Entonces p
divide al número de clases de Q (√ d ) .
Demostración: Notar que d ≡ 1(mód 4). Sea
α = r − 1
2
+ 1+√ d
.
2
Claramente N(α) =g p . Por lo tanto α = p p , donde p | g (no puede haber dos
primos distintos, pues serían los divisores conjugados de g, y entonces g | α,
pero α no es divisible entre enteros racionales).
Basta probar que p no es principal, pues entonces [p] tendrá orden p en el
grupo de clases. A su vez, basta probar que no hay números de norma g. En
caso contrario existirían a y b enteros o semienteros de modo que
( a
g = N
2 + b )
√
d = a2 − bd 2
,
2 4
pero a 2 − bd 2 =4g implica (teniendo en cuenta la hipótesis) que b = 0, luego
g =(a/2) 2 , contradicción.
Esta situación es relativamente frecuente. Por ejemplo:
−15 = 1 2 − 4 · 2 2 , −23 = 3 2 − 4 · 2 3 , −31 = 1 2 − 4 · 2 3 ,
−47 = 9 2 − 4 · 2 5 , −71 = 21 2 − 4 · 2 7 , −79 = 7 2 − 4 · 2 5 ,
−271 = 89 2 − 4 · 2 11 .