Teoria Numeros C Ivorra Castillo

280 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
Teorema 11.16 (relaciones de ortogonalidad) Sea G un grupo abeliano de
orden n. Seaχ ∈ G ∗ y g ∈ G. Entonces
∑
{
n si χ =1 ∑
{
n si χ =1
χ(g) =
χ(g) =
0 si χ ≠1
0 si χ ≠1
g∈G
χ∈G ∗
Demostración: La primera relación es obvia para χ =1. Siχ ≠ 1 entonces
existe un x ∈ G tal que χ(x) ≠ 1. Por consiguiente
χ(x) ∑ g∈G
χ(g) = ∑ g∈G
χ(xg) = ∑ g∈G
χ(g),
(pues cuando g recorre G, xg también recorre G). Por lo tanto
(χ(x) − 1) ∑ g∈G
χ(g) =0,
de donde
∑
χ(g) =0.
g∈G
La segunda relación se deduce de la primera aplicándola al grupo G ∗ yal
carácter dado por ɛ(g)(χ) =χ(g).
El nombre de relaciones de ortogonalidad proviene de la interpretación siguiente,
que nos va a ser útil en algunas ocasiones. Sea G un grupo abeliano
de orden n y sea V el conjunto de todas las aplicaciones de G en C. Claramente
V es un espacio vectorial de dimensión n sobre C. Una biyección de G
con {1,...,n} induce de forma natural un isomorfismo entre V y C n . La base
canónica de C n se identifica con la base formada por las funciones {f u } u∈G
dadas por
{ 1 si t = u
f u (t) =
0 si t ≠ u
Definimos el producto en V dado por
(f,g) = 1 ∑
f(t)g(t),
n
t∈G
donde la barra indica la conjugación compleja. La aplicación ( , ) es lo que se
llama un producto sesquilineal, es decir, es lineal en la primera componente y
semilineal en la segunda (conserva la suma y además (f,αg) =ᾱ(f,g)).
Ahora, si χ y ψ son dos caracteres de G, el teorema anterior nos da que
(χ, ψ) = 1 ∑
χ(t)ψ(t) = 1 ∑
{
(χψ −1 1 si χ = ψ
)(t) =
n
n
0 si χ ≠ ψ
t∈G
tnG
Esto significa que los caracteres son ortogonales respecto al producto ( , ).
De la ortogonalidad se sigue que los caracteres son linealmente independientes,
pues si C es una combinación lineal nula de los caracteres, entonces
(C, χ) = 0, y por otro lado es igual al coeficiente de χ en C. Esto a su vez
implica que los caracteres forman una base de V , una base ortonormal.