Teoria Numeros C Ivorra Castillo

278 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
yenlaquesevenmás claramente las ideas subyacentes. Además se generaliza
más fácilmente a otros resultados de gran importancia en el desarrollo de la
teoría algebraica de números.
11.3 Caracteres de grupos abelianos
En su estudio de la función dseta de los cuerpos ciclotómicos, Dirichlet se
encontró con unas funciones que juegan el mismo papel que el carácter de un
cuerpo cuadrático. Introducimos el concepto en el contexto general de los grupos
abelianos finitos:
Definición 11.12 Sea G un grupo abeliano finito.
homomorfismo χ : G −→ C ∗ .
Un carácter de G es un
Los caracteres de ideales o de formas cuadráticas en el sentido de Gauss son
esencialmente caracteres del grupo de clases estrictas, o también del grupo de
géneros, en el sentido de esta definición. El carácter de un cuerpo cuadrático
K es un carácter del grupo U |∆| de las unidades módulo |∆|, donde ∆ es el
discriminante de K. Las funciones δ, ɛ, δɛ definidas en 9.6 inducen caracteres
en el grupo U 8 .
En todos estos casos los caracteres tomaban tan sólo los valores ±1, ahora admitimos
que tomen valores complejos cualesquiera. De todos modos un carácter
no puede tomar cualquier valor: Si g es un elemento de un grupo abeliano
G de orden n, entonces g n = 1, luego cualquier carácter de G cumplirá que
χ(g) n = χ(g n )=χ(1) = 1. Por lo tanto los caracteres de un grupo de orden n
sólo toman valores en el grupo de las raíces n-simas de la unidad.
Llamaremos G ∗ al conjunto de todos los caracteres de G. Es claro que G ∗
es un grupo abeliano si definimos el producto de dos caracteres χ y ψ como el
carácter determinado por (χψ)(g) =χ(g)ψ(g) para todo g ∈ G.
El elemento neutro de G ∗ es el llamado carácter principal de G, dado por
1(g) = 1 para todo g ∈ G. El grupo G ∗ se llama grupo dual de G.
Examinemos en primer lugar cómo son los caracteres de los grupos cíclicos.
Sea G un grupo cíclico de orden n. Sea g un generador de G y sea ω ∈ C una
raíz n-sima primitiva de la unidad.
Entonces los grupos G = 〈g〉 y 〈ω〉 son cíclicos de orden n, luego son isomorfos.
Un isomorfismo entre ellos es, por ejemplo, la aplicación χ : G −→ 〈ω〉
dada por χ(g m )=ω m . Claramente χ es un carácter de G con la propiedad de
que χ(g) =ω.
Para cada m =0,...,n− 1 se cumple que χ m (g) =χ(g) m = ω m , y como ω
es una raíz primitiva de la unidad concluimos que los caracteres χ m son distintos
dos a dos.
Por otro lado, si ψ ∈ G ∗ se tiene que cumplir que ψ(g) es una raíz n-sima de
la unidad, o sea, ψ(g) =ω m = χ m (g) para un cierto m, y si dos homomorfismos
coinciden sobre un generador, han de ser iguales, es decir, se cumple ψ = χ m
para m =0,...,n− 1.