Teoria Numeros C Ivorra Castillo

128 Capítulo 5. Fracciones continuas
los que buscamos salvo el primero. A estos primeros coeficientes tendremos que
sumarles las cantidades 0, u 2 1(t − 1), u 2 2 3t, u 2 3 5t, ...
Aplicamos el teorema 5.14 al primer segmento:
( )
p0 p −1
=
q 0 q −1
La ecuación matricial es
(
2 −1
)(
1 1
0 1 1 0
1[1] − 1
=1=[1]=[b 0 ], m =1.
1
( ) ( )
1 1 r0 r
,
−1
=
1 0 s 0 s −1
( ) ( )
u0 v 0 2 −1
=
.
0 w 0 0 1
)
=
(
1 2
1 0
)
=
y la solución: ( ) (
u1 v 1 1 0
=
0 w 1 0 2
(
1 1
1 0
)
.
Ahora aplicamos el teorema al segundo segmento [1]:
(
1 1
1 0
)
,
)( )
u1 v 1
,
0 w 1
1[1] + 0
= 1 1 2 =[0, 1, 1] = [b 2,b 3 ,b 4 ],
donde hemos tomado el desarrollo con tres cifras para que la longitud sea impar,
como la de [1]. Ahora
( 1 0
0 2
)( 1 1
1 0
( ) (
r2 r 1 1 1
=
s 2 s 1 2 1
)
)
=
( 1 1
2 0
=
)
,
( 1 1
2 1
de donde ( ) (
u2 v 2 1 −1
=
0 w 2 0 2
)
)( )
u2 v 2
,
0 w 2
Sólo hay que rectificar el valor de b 2 , que en realidad es u 2 1(t−1) = t−1 ≥ 0,
luego por ahora tenemos que η 0 =[1| t − 1, 1, 1 |... ].
La siguiente aplicación del teorema es al segmento [0]:
( 1 −1
0 2
1[0] − 1
= − 1 2 2 =[−1, 1, 1] = [b 5,b 6 ,b 7 ].
)( ) ( 0 1 −1 1
=
1 0 2 0
y esta vez llegamos a que
( ) (
u3 v 3 1 −1
=
0 w 3 0 2
)
=
)( )
u3 v 3
,
0 w 3
(
u2 v 2
0 w 2
)
,