Teoria Numeros C Ivorra Castillo

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112 Capítulo 5. Fracciones continuas La sucesión r n se llama fracción continua determinada por la sucesión a n . Los números racionales r n se llaman convergentes de la fracción continua. Demostraremos que los convergentes realmente convergen a un cierto número real. Para ello comenzamos obteniendo una relación recurrente para los numeradores y los denominadores p n y q n . Teorema 5.2 Con la notación anterior: p 0 = a 0 , q 0 =1, p 1 = a 0 a 1 +1, q 1 = a 1 , p n = a n p n−1 + p n−2 , q n = a n q n−1 + q n−2 . Demostración: Los casos n =0, 1, 2 se comprueban directamente. Hay que probar que los valores dados por las fórmulas (en estos tres casos) son realmente primos entre sí, pero esto se ve fácilmente por los métodos usuales. Supongámoslo cierto para n − 1 ≥ 2 y probémoslo para n. Definimos los enteros racionales primos entre sí p ′ j q ′ j =[a 1 ,...,a j+1 ], j =0, 1, 2,... Por la hipótesis de inducción aplicada a n − 1 se cumplen las fórmulas p ′ n−1 = a n p ′ n−2 + p ′ n−3, q ′ n−1 = a n q ′ n−2 + q ′ n−3. (5.1) Por otra parte p j = a 0 + q′ j−1 , luego q j p ′ j−1 p j = a 0 p ′ j−1 + q ′ j−1, q j = p ′ j−1, (5.2) donde se ha usado que si (p ′ j−1 ,q′ j−1 ) = 1, los valores que dan estas fórmulas también son primos entre sí. Haciendo j = n en (5.2) y usando (5.1) obtenemos p n = a 0 (a n p ′ n−2 + p ′ n−3)+(a n q n−2 ′ + q n−3) ′ = a n (a 0 p ′ n−2 + q n−2)+a ′ 0 p ′ n−3 + q n−3, ′ q n = a n q n−2 ′ + q n−3. ′ Aplicando (5.2) con j = n − 1yn − 2 se deduce p n = a n p n−1 + p n−2 , q n = a n q n−1 + q n−2 . De estas relaciones se sigue en particular que la sucesión q n es creciente, y si a 0 > 0 entonces p n también lo es. Veamos otra consecuencia sencilla: Teorema 5.3 Con la notación anterior, p n q n+1 − p n+1 q n =(−1) n+1 o, lo que es lo mismo: r n − r n+1 =(−1) n+1 /q n q n+1 .
5.1. Propiedades básicas 113 Demostración: Claramente p n q n+1 − p n+1 q n = p n (a n+1 q n + q n−1 ) − (a n+1 p n + p n−1 )q n = p n q n−1 − p n−1 q n = −(p n−1 q n − p n q n−1 ), y como p 0 q 1 − p 1 q 0 = a 0 a 1 − (a 0 a 1 +1)=−1, se cumple el teorema. Con esto estamos en condiciones de demostrar la convergencia de las fracciones continuas. Teorema 5.4 Con la notación anterior, existe un único número real α tal que r 0
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Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE N
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