Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.4. El carácter de un cuerpo cuadrático 233
por hipótesis, y esto significa que q se escinde en K, luego existe un primo q de
norma 1, y como (q, ∆) = 1, la correspondencia entre los ideales de O y los de
K implica que O también tiene un primo de norma q
El carácter de un cuerpo cuadrático nos da una expresión sencilla para el
número de ideales de una norma dada:
Teorema 9.28 Sea K un cuerpo cuadrático. El número de ideales de K de
norma k es igual a ∑ r|k
χ K (r).
Demostración: Descompongamos k = p s1
1 ···pst t como producto de factores
primos. Teniendo en cuenta la propiedad multiplicativa de χ K se cumple
que
∑ ∑s 1
∑s t
χ K (r) = χ K (p 1 ) i ··· χ K (p t ) i .
r|k
Si χ K (p j ) = 0 entonces
∑s j
i=0
Si χ K (p j )=−1 entonces
i=0
i=0
χ K (p j ) i = 1, luego estos factores no influyen.
∑s j
i=0
χ K (p j ) i vale1sis j
espary0siesimpar.
Por lo tanto la suma total es igual a 0 cuando alguno de los exponentes s j
correspondientes a primos que se conservan es impar. Ciertamente, cuando esto
ocurre no hay ideales de norma k.
Si todos estos exponentes son pares entonces el sumatorio se reduce a los
factores correspondientes a los primos que se escinden. Supongamos que son
p 1 ,...,p a . Entonces
∑
χ K (r) =(s 1 +1)···(s a +1). (9.9)
r|k
Hay que probar que éste es el número de ideales de norma k. Ahora bien, si a
es un ideal de norma k y p es un primo que divide a un p j que se ramifica o se
conserva, entonces el exponente de p en a ha de ser 2s j si p j se ramifica o s j si
p j se conserva.
La única variación puede darse en los exponentes de los ideales que dividen
a primos racionales que se escinden p j = pq, donde los exponentes de p y q
han de cumplir únicamente que su suma sea s j . Por lo tanto el exponente de p
puede ser cualquiera entre 0 y s j ,yéste determina el exponente de q. Así pues,
cada primo p j que se escinde da lugar a s j+1 variaciones en la factorización de
a, luego el número de ideales de norma k es el dado por (9.9).
Terminamos esta sección con una variante de la fórmula del teorema 4.18 en
la que sustituimos la función de Euler por el carácter del cuerpo cuadrático.
Teorema 9.29 Sea K un cuerpo cuadrático, sea h su número de clases y h m
el número de clases del orden O m . Sea e m el índice del grupo de las unidades