Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo X
El Último Teorema de
Fermat
En los capítulos anteriores hemos aplicado la teoría de los cuerpos numéricos
al estudio de la teoría de Gauss, que éste desarrolló enteramente en términos
de formas cuadráticas. El lector se hará idea, sin duda, de la enorme ventaja
que supone sustituir las formas por ideales en los resultados principales. Sin
embargo, hemos de recordar que la teoría de ideales no surgió de aquí, sino
del trabajo de Kummer en torno al último teorema de Fermat, por lo que es
ilustrativo ahondar en su relación con este problema. En el capítulo I vimos
ya los precedentes. Según dijimos, el primer resultado al respecto, después
del teorema 1.1, es la prueba de Euler para el caso p = 3. Conviene que nos
detengamos en ella.
10.1 El caso p =3
Teorema 10.1 No existen enteros no nulos x, y, z tales que x 3 + y 3 = z 3 .
Demostración: Vamos a seguir la prueba del teorema 1.1. Para empezar
suponemos que existen números (x, y, z) que cumplen x 3 + y 3 = z 3 . D i-
vidiéndolos entre su m.c.d. podemos suponer que son primos entre sí y, al cumplir
la ecuación, han de ser primos entre sí dos a dos. Es obvio que a lo sumo
uno de los tres números puede ser par, pero si x, y son impares entonces z es
par, luego exactamente uno de ellos es par.
Por simetría podemos suponer que x e y son impares. Entonces x + y, x − y
son pares, digamos x + y =2p, x − y =2q. Así x = p + q, y = p − q.
Ahora consideramos la factorización siguiente:
Sustituyendo obtenemos
x 3 + y 3 =(x + y)(x 2 − xy + y 2 ).
x 3 + y 3 =2p ( (p + q) 2 − (p + q)(p − q)+(p − q) 2) =2p(p 2 +3q 2 ).
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