Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo IX
La teoría de los géneros
Finalmente estamos en condiciones de abordar, desde el punto de vista que
pretendíamos, la parte más profunda e interesante de la teoría de Gauss sobre
formas cuadráticas binarias, la teoría de los géneros. Como es habitual, nosotros
la trataremos tanto en términos de formas cuadráticas como en términos
de módulos e ideales de órdenes cuadráticos. En este capítulo, y mientras no
se indique lo contrario, la expresión ‘forma cuadrática’ tendrá el sentido que le
dábamos en el capítulo VI, es decir, el de forma cuadrática binaria con coeficientes
enteros, regular y primitiva (y definida positiva si su discriminante es
negativo).
Ya conocemos un método para determinar si una forma cuadrática dada
representa o no a un entero dado. Sin embargo el método es demasiado complejo,
en el sentido de que se trata de una serie de cálculos que nos dan la respuesta en
cada caso particular, pero no nos dicen nada sobre qué enteros son representables
en general por una forma dada. Por ejemplo, con las técnicas del capítulo
anterior es fácil ver que la forma x 2 + y 2 representa a un primo impar p si y
sólo si p ≡ 1 (mód 4). Las técnicas del capítulo VI nos permiten probar que
5 está representado por dicha forma, así como que 7 no lo está, pero no nos
son de ninguna ayuda para llegar hasta esta sencilla caracterización. Por otra
parte, resultados de este tipo eran conocidos desde la época de Fermat, aunque
las pruebas requerían argumentos específicos en cada caso particular.
La teoría de los géneros sí proporciona esta clase de resultados. Gauss descubrió
que existen condiciones necesarias, muy sencillas de enunciar y de manejar,
para que un número esté representado por una forma cuadrática. En ocasiones
estas condiciones son también suficientes, con lo que el problema de determinar
los números representados por la forma considerada tiene una respuesta
particularmente simple. Cuando no son suficientes, al menos proporcionan información
relevante sobre el problema. Una parte de la teoría era ya conocida
por Legendre, con anterioridad al trabajo de Gauss.
El punto de partida de la teoría de géneros es el hecho evidente de que
para que la ecuación f(x, y) = m tenga soluciones enteras, donde f es una
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