Teoria Numeros C Ivorra Castillo

34 Capítulo 2. Cuerpos numéricos
Como d es libre de cuadrados concluimos que Z[α] es en este caso el orden
de K.
Si llamamos α = √ d en el caso en que d ≢ 1 (mód 4) hemos probado que
O K = Z[α] en cualquier caso. Es inmediato que para cada número natural m ≠0
el conjunto O m = Z[mα] ={a + bmα | a, b ∈ Z} es un orden de K. Además
∆[O m ]=m 2 ∆ K , pues la matriz de cambio de base entre {1,α} y {1,mα} tiene
determinante m. Esto prueba que los órdenes O m son distintos dos a dos. Vamos
a ver que son todos los órdenes de K. Lo probamos en el teorema siguiente,
donde recogemos también los hechos que acabamos de demostrar.
Teorema 2.24 Sea K = Q (√ d ) un cuerpo cuadrático. Entonces
1. O K = Z[α], donde
{ √
d si d ≢ 1 (mód 4)
α =
1+ √ d
2
si d ≡ 1 (mód 4)
(2.5)
2. El discriminante de K es
∆ K =
3. Los órdenes de K son de la forma
{ 4d si d ≢ 1 (mód 4)
d si d ≡ 1 (mód 4)
O m = Z[mα] ={a + bmα | a, b ∈ Z}
y el discriminante de O m es ∆[O m ]=m 2 ∆ K .
Demostración: Sólo falta probar que todos los órdenes de K son de la
forma descrita.
Si O es un orden de K, sea m el mínimo natural tal que existe un elemento
en O de la forma a + mα, con a ∈ Z. Como Z ⊂ O, tenemos que mα ∈ O, luego
O m ⊂ O.
Si a + bα ∈ O, entonces existen enteros racionales c y r tales que b = mc + r
y0≤ r