Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.4. El grupo de clases 95
Vamos a probar que éste es en realidad el único caso posible. Consideremos un
número cualquiera a + b √ −3 ∈ Z [√ −3 ] .
Supongamos que 2 | N ( a + b √ −3 ) = a 2 +3b 2 . Entonces a y b son ambos
pares o ambos impares. En el primer caso a + b √ −3=2 ( u + v √ −3 ) ,enel
segundo tenemos que a y b son ambos de la forma 4n ± 1. Por lo tanto bien
a + b o bien a − b es múltiplo de 4, es decir, 4 | a ± b, para una elección adecuada
del signo.
Trabajando en el orden maximal vemos que 2 es primo y 2 | N ( a + b √ −3 ) ,
luego divide a a±b √ −3. Como es invariante por conjugación, de hecho tenemos
que 2 | a+b √ −3. Por otra parte 1±√ −3
2
es una unidad, luego 1± √ −3 es asociado
a 2 y también divide a a + b √ −3. Digamos que
a + b √ −3= ( 1 ± √ −3 )( u + v √ −3 ) ,
donde u y v son enteros o semienteros. Entonces
u + v √ −3= a ± 3b +(a ∓ b)√ −3
,
4
luego eligiendo el signo podemos hacer que u y v sean ambos enteros.
Así en ambos casos (tanto si a y b son pares o impares) hemos llegado a una
factorización de la forma a+b √ −3=τβ, donde τ es2o1± √ −3yβ ∈ Z [√ −3 ] .
Repitiendo el proceso podemos llegar a una factorización a + b √ −3=τ 1 ···τ r β,
donde ahora N(β) es impar. Como el número de clases es 1, β se descompone
en producto de primos en Z [√ −3 ] , digamos
a + b √ −3=τ 1 ···τ r π 1 ···π s . (4.2)
Los factores τ i son irreducibles de norma 4 y los factores π i son primos de norma
impar. Todos ellos son primos en el orden maximal.
Ejercicio: Probar que la descomposición (4.2)es única salvo signos y salvo las transformaciones
entre los τ i que pueden hacerse a partir de (4.1). La factorización es única
salvo signos si exigimos que en la descomposición no aparezcan factores 1 ± √ −3 con
signos opuestos.
Terminamos la sección con un último resultado de finitud:
Teorema 4.19 Si O es un orden numérico, existe un número finito de clases
de similitud de módulos cuyo anillo de coeficientes es O.
Demostración: El teorema 4.12 (teniendo en cuenta la definición de norma
de un módulo) proporciona una cota C que sólo depende del cuerpo y de O tal
que todo módulo M con anillo de coeficientes O contiene un elemento α ≠ 0 con
| N(α)| ≤C N(M). Como αO ⊂ M, también O ⊂ α −1 M.Esfácil ver que
|α −1 M : O| = N(α −1 M) −1 = | N(α)|/ N(M) ≤ C.
Así tenemos que todo módulo M es similar a otro M ′ tal que O ⊂ M ′ y
|M ′ : O| ≤C. Sólo hay un número finito de naturales t tales que 1 ≤ t ≤ C