Teoria Numeros C Ivorra Castillo

12.4. El número de clases en cuerpos cuadráticos 313
Ejemplo Vamos a calcular el número de clases de Q (√ −23 ) . La tabla siguiente
indica el símbolo de Legendre de los números necesarios:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1
(Notar que sólo hace falta calcular los valores para 2, 3, 5, 7 y 11. Los restantes
se deducen de éstos.)
Por consiguiente h =7− 4=3.
En el caso real no hay fórmulas tan simple, pero vamos a encontrar una
variante interesante de la fórmula del teorema 12.9.
Consideremos
∏
sen(πb/∆)
b
θ = ∏
sen(πa/∆) ,
a
donde a y b recorren los números entre 0 y ∆/2 primos con ∆ y tales que
χ K (a) =1,χ K (b) =−1. Entonces la fórmula del teorema 12.9 es
h = 1 log θ,
log ɛ
de donde θ = e h log ɛ = ɛ h . En particular θ es una unidad de K.
La fórmula θ = ɛ h tiene interés entre otros motivos porque no existe ninguna
demostración puramente aritmética de este hecho. Ni siquiera se conoce una
prueba elemental de que θ>0.
Los resultados que hemos obtenido se aplican también a los cuerpos ciclotómicos,
pero nos ocuparemos de ello en el próximo tema.