Teoria Numeros C Ivorra Castillo

8.2. Formas cuadráticas sobre cuerpos p-ádicos 187
Ahora podemos razonar como hemos hecho antes con las formas cuadráticas
sobre R y sobre C (eliminando los cuadrados) hasta concluir que toda forma
cuadrática regular sobre Q p es equivalente a una de la forma α 1 x 2 1 + ···+ α n x 2 n,
donde cada α i es una unidad de U p (o más precisamente un miembro de un
conjunto fijo de representantes de las clases de congruencia de U p /U 2 p ).
Agrupando las variables adecuadamente tenemos que toda forma cuadrática
regular es equivalente a una forma F del tipo
F = F 0 + pF 1 =(ɛ 1 x 2 1 + ···+ ɛ r x 2 r)+p(ɛ r+1 x 2 r+1 + ···+ ɛ n x 2 n), (8.1)
donde ɛ 1 ,...,ɛ n son unidades.
Para estudiar la representación de cero por una forma F podemos suponer
r ≥ n − r, pues pF es claramente equivalente a F 1 + pF 0 y las formas F y pF ,
aunque no son equivalentes, representan cero ambas o ninguna. Nuestro primer
resultado es el siguiente:
Teorema 8.14 Con la notación anterior, sea p ≠2, 0