Teoria Numeros C Ivorra Castillo

6.5. Cálculo de grupos de clases 153
Ejemplo Calculamos el número de clases del cuerpo Q (√ −17 ) . Éste coincide
con el número de formas reducidas de discriminante D = −56. Para hallarlas
todas notamos en general que −D =4ac − b 2 ≥ 3ac, luego a, |b|,c≤−D/3.
En este caso buscamos coeficientes menores o iguales que 18. Los únicos
valores posibles son (3, ±2, 5), (2, 0, 7), (1, 0, 14), luego el número de clases es 4.
Ejemplo Vamos a calcular el grupo de clases asociado al orden maximal del
cuerpo Q (√ −161 ) .
En general conviene observar que si tenemos un ideal en la forma indicada
por el teorema 6.9, es decir, a = 〈a, u + mω〉, donde a, u son enteros racionales
y N(u + mω) =av, entonces la forma asociada es
N(ax +(u + mω)y)
= ax 2 +Tr(u + mω)xy + vy 2 .
a
Tenemos D = −644 y por el teorema 4.14 todo ideal es similar a uno de
norma menor o igual que 16. El comportamiento de los primos menores que 16
es el siguiente:
2=2 2 0, 3=3 1 3 2 , 5=5 1 5 2 , 7=7 1 0, 11 = 11 1 11 2 .
Los ideales de norma menor o igual que 16 son (eliminando los que obviamente
son similares):
1, 2 0 , 3 1 , 3 2 , 5 1 , 5 2 , 2 0 3 1 , 2 0 3 2 , 7 0 , 3 2 1, 3 2 2, 2 0 5 1 ,
2 0 5 2 , 11 1 , 11 2 , 2 0 7 0 , 3 1 5 1 , 3 1 5 2 , 3 2 5 1 , 3 2 5 2 .
El ideal 1 corresponde a la forma principal x 2 + 161y 2 .
El ideal 2 0 = 〈 2, 1+ √ −161 〉 se corresponde con
(
N 2x + ( 1+ √ −161 ) )
y /2 =2x 2 +2xy +81y 2 ,
que ya está reducida. Como no es la forma principal, el ideal 2 0 no es principal.
El orden de la clase [2 0 ] es obviamente 2.
Consideremos los ideales 3 1 = 〈 3, 1+ √ −161 〉 ,3 2 = 〈 3, −1+ √ −161 〉 , cuyas
formas asociadas son, respectivamente, 3x 2 +2xy +54y 2 y3x 2 −2xy +54y 2 , que
ya están reducidas. Como no son la forma principal, ninguno de estos ideales
es principal.
Vamos a calcular el orden de [3 1 ]. Se comprueba fácilmente que
3 2 1 = 〈 9, 3+3 √ −161, −160+2 √ −161 〉 = 〈 9, 1+ √ −161 〉 ,
luego la forma asociada es 9x 2 +2xy +18y 2 , que ya está reducida, por lo que el
ideal tampoco es principal.
Ahora 3 4 1 = 〈 81, 9+9 √ −161, −160 + 2 √ −161 〉 = 〈 81, 1+ √ −161 〉 , y su
forma es 81x 2 +2xy +2y 2 , que se reduce a 2x 2 +2xy +81y 2 . Ésta es la forma