Teoria Numeros C Ivorra Castillo

76 Capítulo 3. Factorización ideal
Demostración: La norma de un dominio euclídeo ha de cumplir que
| N(α)| ≤|N(αβ)|, para todo par de enteros no nulos α y β. Esto es evidente.
Por otra parte, dados ∆ y δ en O con δ ≠ 0, existe un β ∈ O tal que ρ = ∆ δ −β
tiene norma menor que 1, luego ∆ = δβ + δρ y | N(δρ)| < | N(δ)|, tal y como
exige el algoritmo euclídeo. El recíproco es similar.
Una muestra de la limitada aplicación de este hecho es el teorema siguiente:
Teorema 3.31 Si Q (√ d ) es un cuerpo cuadrático con d < −11 entonces
Q (√ d ) no es euclídeo.
Demostración: Como d ha de ser libre de cuadrados, de hecho d ≤−13.
Sea O el anillo de enteros. Observemos que si δ =(a/2) + (b/2) √ d, donde a
y b son enteros, cumple | N(δ)| ≤3, entonces a 2 − db 2 ≤ 12, y como d ≤−13,
necesariamente b =0y|a| ≤3, pero entonces δ = a/2 es entero y no puede ser
más que δ =0, 1, −1. En particular las únicas unidades de O son ±1.
Si O fuera euclídeo podríamos tomar un δ ∈ O de norma euclídea mínima
entre los enteros no nulos ni unitarios, con lo que todo ∆ ∈ O se expresa como
∆=δc + r, donde r =0, 1, −1, por la elección de δ.
Esto significa que O/(δ) = { [0], [1], [−1] } , luego | N(δ)| ≤3 y, según hemos
visto, δ es nulo o unitario, en contra de la elección que hemos hecho.
Ejercicio: Probar que los únicos cuerpos euclídeos Q (√ d ) con d ≤ −1 son los
correspondientes a d = −1, −2, −3, −7, −11.