Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.3. Caracteres de grupos abelianos 279
Esto prueba que G ∗ es un grupo cíclico de orden n generado por χ. En
particular tenemos que G ∗ es isomorfo a G.
Vamos a ver que esto es cierto para todo grupo G aunque no sea cíclico.
Para ello nos basaremos en que todo grupo abeliano finito se descompone en
producto cartesiano de grupos cíclicos y aplicaremos el teorema siguiente.
Teorema 11.13 Sean G y H grupos abelianos finitos. Entonces si χ ∈ G ∗ y
ψ ∈ H ∗ , la aplicación χ×ψ : G×H −→ C dada por (χ×ψ)(g, h) =χ(g)ψ(h) es
un carácter del grupo G × H y además la aplicación f : G ∗ × H ∗ −→ (G × H) ∗
dada por f(χ, ψ) =χ × ψ es un isomorfismo de grupos.
La prueba es inmediata. La dejamos a cargo del lector.
Teorema 11.14 Si G es un grupo abeliano finito, G ∗ es isomorfo a G.
Demostración: El grupo G se descompone en producto cartesiano de
grupos cíclicos y por el teorema anterior G ∗ es isomorfo al producto cartesiano
de los grupos de caracteres de sus factores, que según hemos visto son cíclicos
del mismo orden. Así pues G y G ∗ se descomponen en producto de grupos
cíclicos de los mismos órdenes, luego son isomorfos.
Observar que no existe un isomorfismo canónico entre G y G ∗ , es decir, un
isomorfismo que asigne a cada elemento un carácter construido a partir de él.
El isomorfismo depende de la estructura del grupo G.
Por el contrario sí es posible definir un isomorfismo canónico entre G ysu
bidual G ∗∗ , concretamente, si llamamos ɛ(g) :G ∗ −→ C a la aplicación dada
por ɛ(g)(χ) =χ(g) para todo χ ∈ G ∗ ,sevefácilmente que ɛ : G −→ G ∗∗ es un
isomorfismo.
Ahora vamos a relacionar los caracteres de un grupo con los de sus subgrupos.
Teorema 11.15 Sea G un grupo abeliano finito y H un subgrupo de G. Entonces
todo carácter de H se extiende a un carácter de G, y el número de
extensiones es igual al índice |G : H|.
Demostración: La aplicación G ∗ −→ H ∗ que cada carácter de G lo restringe
a H es obviamente un homomorfismo de grupos. Sea N el núcleo de este
homomorfismo. Un carácter χ está enN siysólo si χ(h) = 1 para todo h ∈ H.
Esto significa que H está contenido en el núcleo de χ, luego χ induce un carácter
χ ′ : G/H −→ C dado por χ ′( [g] ) = χ(g).
La aplicación N −→ (G/H) ∗ dada por χ ↦→ χ ′ es también un homomorfismo
de grupos. Es fácil ver que de hecho es un isomorfismo. En efecto, si χ ′ =1
entonces obviamente χ = 1, y si tomamos ψ ∈ (G/H) ∗ , entonces ψ define el
carácter χ(g) =ψ ( [g] ) , que claramente está enN y χ ′ = ψ.
Consecuentemente |N| = |(G/H) ∗ | = |G : H| y por lo tanto la imagen de la
restricción tiene orden |G ∗ : N| = |H|, por lo que la restricción es un epimorfismo
y cada carácter de H ∗ tiene exactamente |N| = |G : H| antiimágenes, o sea,
extensiones.
El teorema siguiente es fundamental a la hora de trabajar con caracteres.