Teoria Numeros C Ivorra Castillo

80 Capítulo 4. Métodos geométricos
El paralelepípedo fundamental no está determinado por el retículo, sino que
cada base tiene uno distinto. Por ejemplo, los vectores (1, 2)y(1, −1) generan
el mismo retículo de la figura anterior y su paralelepípedo fundamental es el que
muestra la figura siguiente:
Por ello, cuando digamos que T es un paralelepípedo fundamental de un
retículo M querremos decir que es el asociado a una cierta base de M. De todos
modos, los paralelepípedos fundamentales tienen una característica invariante:
su volumen. Llamaremos µ a la medida de Lebesgue en R n . Se sobrentiende
que todos los conjuntos sobre los que apliquemos µ son medibles, por hipótesis
cuando sea necesario.
Teorema 4.4 Sea M = 〈v 1 ,...,v n 〉 un retículo completo en R n ,conv i =(a ij ).
Sea T el paralelepípedo fundamental asociado. Entonces µ(T )=| det(a ij )|, y
este valor es independiente de la base escogida.
Demostración: Sea f : R n −→ R n el isomorfismo que tiene matriz (a ij ),
es decir, el isomorfismo que envía la base canónica de R n a la base v 1 ,...,v n .
Es claro que T = f [ [0, 1[ n] , luego por las propiedades de la medida de
Lebesgue µ(T )=| det(a ij )|µ ( [0, 1[ n) = | det(a ij )|.
Si cambiamos de base la nueva matriz (a ij ) se diferencia de la anterior en
una matriz de determinante ±1, luego el valor absoluto del determinante sigue
siendo el mismo.
Cada módulo completo en un cuerpo numérico tiene asociado un retículo
a través de su representación geométrica. La demostración del teorema 4.2
contiene el cálculo del volumen de su paralelepípedo fundamental:
Teorema 4.5 Sea K un cuerpo numérico y M un módulo completo en K con
anillo de coeficientes O. La imagen de M por la representación geométrica es