Teoria Numeros C Ivorra Castillo

282 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
de modo que χ ′ = g◦χ y los caracteres que χ y χ ′ inducen módulo r son (f ◦g)◦c
y f ◦ (g ◦ c) respectivamente.
Teorema 11.18 Si un carácter χ módulo m está inducido por un carácter χ 1
módulo m 1 y por un carácter χ 2 módulo m 2 entonces también está inducido por
un carácter módulo d =(m 1 ,m 2 ).
Demostración: Sea m ′ el mínimo común múltiplo de m 1 y m 2 . Tenemos
la situación siguiente:
χ 1
U m1 −→ C
↗ ↘
U m −→ U m ′ U d
↘ ↗
χ 2
U m2 −→ C
donde todas las flechas sin nombre son los epimorfismos canónicos.
Por hipótesis χ 1 y χ 2 inducen el mismo carácter χ módulo m, pero los
caracteres inducidos por χ 1 y χ 2 módulo m ′ también inducen el carácter χ,
luego han de coincidir. Sea pues χ ′ el carácter inducido por χ 1 y χ 2 módulo m ′ .
Sean N 1 y N 2 los núcleos de los epimorfismos canónicos de U m ′ en U m1 y
U m2 , es decir,
N 1 = { [a] ∈ U m ′ | a ≡ 1 (mód m 1 ) } y N 2 = { [a] ∈ U m ′ | a ≡ 1 (mód m 2 ) } .
Por el teorema de isomorfía sus órdenes son φ(m ′ )/φ(m 1 )yφ(m ′ )/φ(m 2 ) respectivamente.
Es obvio que ambos están contenidos en el núcleo N del epimorfismo
canónico de U m ′ en U d , que es N = { [a] ∈ U m ′ | a ≡ 1(mód d) } y tiene orden
φ(m ′ )/φ(d).
También es claro que N 1 ∩ N 2 = 1, luego |N 1 N 2 | = |N 1 ||N 2 | = |N|, pues la
última igualdad equivale a que φ(m ′ )φ(d) =φ(m 1 )φ(m 2 ), lo cual se demuestra
sin dificultad para toda función aritmética multiplicativa. Como N 1 N 2 ≤ N, de
hecho se tiene la igualdad N = N 1 N 2 .
Para todo [a] ∈ U m ′ se cumple que χ ′ (a) =χ 1 (a) =χ 2 (a), luego χ ′ (a) =1
tanto si [a] ∈ N 1 como si [a] ∈ N 2 , luego χ ′ (a) = 1 siempre que [a] ∈ N, es
decir, para todas las clases [a] que cumplen a ≡ 1 (mód d). De aquí se sigue
que si a ≡ a ′ (mód d) entonces χ ′ (a) =χ ′ (a ′ ).
Dado [a] ∈ U d existe un [a ′ ] ∈ U m ′ tal que a ′ ≡ a (mód d) (por la suprayectividad
del epimorfismo canónico). Podemos definir ψ(a) =χ ′ (a ′ ) sin que
importe la elección de a ′ (por lo que acabamos de probar). Claramente ψ es un
carácter módulo d que induce a χ ′ y por lo tanto a χ.
Si un carácter ψ está inducido por un carácter χ, entonces ψ ‘contiene menos
información’ que χ, en el sentido de que ambos coinciden sobre los números
primos con el módulo de ψ, mientras que ψ se anula sobre algunos números en
los que χ no lo hace. Por eso tiene mucha importancia el concepto siguiente:
Definición 11.19 Un carácter modular es primitivo si no está inducido por un
carácter de módulo menor.