Teoria Numeros C Ivorra Castillo

200 Capítulo 8. El teorema de Hasse-Minkowski
Sea M = Q + kTS para un cierto k ∈ K. Vamos a ver que eligiendo k
adecuadamente se cumplirá que M es regular y M ′ AM = B, con lo que g y h
serán equivalentes. Tenemos
M ′ AM =(Q ′ +kS ′ T ′ )A(Q+kTS) =Q ′ AQ+kS ′ T ′ AQ+kQ ′ AT S+k 2 S ′ T ′ AT S
= Q ′ AQ−kγaS ′ S −kγaS ′ S +k 2 (a−γ 2 a)S ′ S = Q ′ AQ+a ( (1−γ 2 )k 2 −2kγ ) S ′ S.
Esto será igual a B si (1 − γ 2 )k 2 − 2kγ = 1, o sea, si k 2 − (γk +1) 2 =0.
Basta tomar k de modo que k = γk + 1, es decir, k = 1/(1 − γ) salvo
que γ = 1, en cuyo caso la ecuación se reduce a −2k = 1 y sirve k = −1/2
(suponemos siempre que la característica de K es impar).
Así pues, para el k adecuado, tenemos M ′ AM = B, y como B es regular,
M también ha de serlo.
Teorema 8.34 Dos formas cuadráticas regulares con coeficientes racionales
son racionalmente equivalentes si y sólo si son equivalentes en Q p para todo
primo p, incluido p = ∞.
Demostración: Por inducción sobre el número n de variables. Si n = 1 dos
formas ax 2 y bx 2 son equivalentes en un cuerpo si y sólo si a/b es un cuadrado.
Pero, como hemos visto en la prueba del teorema 8.30 para n =1,sia/b es un
cuadrado en todos los cuerpos Q p entonces es un cuadrado en Q.
Supongamos que n>1. Sean dos formas f y g según las hipótesis. Sea r
un número racional no nulo representado por f. Como f y g son equivalentes
en los cuerpos Q p , tenemos que g representa a r en todos estos cuerpos, y por
el teorema 8.31 resulta que g representa a r en Q.
Por el teorema 8.2 tenemos que f y g son equivalentes a formas rx 2 ⊕ f ′ y
rx 2 ⊕ g ′ . Por el teorema anterior f ′ y g ′ son equivalentes en todos los cuerpos
Q p , luego por hipótesis de inducción tenemos que f ′ y g ′ son equivalentes en Q,
con lo que f y g también lo son.
Observar que con la prueba del teorema de Hasse-Minkowski para formas de
hasta tres variables tenemos probado el teorema anterior para formas cuadráticas
binarias. Para este caso, podemos dar condiciones mucho más simples en
términos de los invariantes definidos en 8.27.
Definición 8.35 Sea f una forma cuadrática binaria sobre Q. Entonces el
determinante de f se expresa de forma única como d(f) =δ(f)c 2 , donde δ(f)
es un número racional libre de cuadrados. Es claro que δ(f) es un invariante,
es decir, si f y g son formas equivalentes, entonces δ(f) =δ(g).
Para cada primo p tenemos definido ψ p (f) = ( r, −δ(f) ) p
, donde r es cualquier
número racional no nulo representado por f (definición 8.27).
También es obvio que si f y g son (racionalmente) equivalentes también son
equivalentes en Q p , y entonces ψ p (f) =ψ p (g). Todo esto se cumple trivialmente
en el caso p = ∞.
Combinando los teoremas 8.28 y 8.34 (junto con sus versiones para ∞) obtenemos: