Teoria Numeros C Ivorra Castillo

260 Capítulo 10. El Último Teorema de Fermat
Nuestro objetivo es combinar estas ecuaciones para llegar a una ecuación
similar a (10.4) pero con un valor menor para m. Una forma rápida de hacerlo
es partir de la identidad
(x + ωy)(1 + ω) − (x + ω 2 y)=ω(x + y).
Si la multiplicamos por (ω − 1) p(m−1) y usamos (10.7) para i =1, 2 obtenemos
(x + y)γ p 1 ɛ 1(1 + ω) − (x + y)γ p 2 ɛ 2 =(x + y)ω(ω − 1) p(m−1) .
Como 1 + ω es una unidad, esta ecuación se puede poner en la forma
γ p 1 + γp 2 ɛ = η(ω − 1)p(m−1) ,
donde ɛ y η son unidades. Multiplicando por N(b 0 ) p queda una ecuación de tipo
α p + ɛβ p = η(ω − 1) p(m−1) γ p ,
donde α, β y γ son enteros ciclotómicos primos con ω − 1. Esta ecuación será
de tipo (10.4) si ɛ es una potencia p-ésima. Lo probaremos usando la propiedad
B de la definición de primo regular.
En efecto, basta observar que p(m − 1) ≥ p, pues hemos probado que m>1,
luego
α p + ɛβ p ≡ 0 (mód p).
Despejando ɛ (lo cual es posible porque β es primo con p) vemos que es congruente
con una potencia p-ésima módulo p, luego es congruente con un entero
racional módulo p, luego es una potencia p-ésima (por la propiedad B).
Este teorema no aporta información alguna en ausencia de un criterio para
reconocer qué primos son regulares. Kummer formuló dos conjeturas sobre los
primos regulares:
1. La propiedad A implica la propiedad B, de modo que un primo p es regular
siysólo si p ∤ h, donde h es el número de clases del cuerpo ciclotómico de
orden p.
2. Existen infinitos primos regulares.
Admitiendo la primera conjetura, el problema de decidir si un primo es
regular se reduce al cálculo del número de clases del cuerpo ciclotómico correspondiente,
lo cual no es cosa fácil, pues h aumenta muy rápidamente con p.
Pocos meses después de probar el teorema anterior, Kummer demostró la conjetura
1 y halló unmétodo sorprendentemente simple de decidir si se cumple
la propiedad A sin necesidad de calcular explícitamente el número de clases h.
Ambos resultados se obtienen a partir de una técnica común que desarrollaremos
en los próximos capítulos. Respecto a la segunda conjetura, nunca ha sido
demostrada ni refutada, pero Kummer se retractó de ella cuando dispuso de
más datos. En realidad no hay evidencias de que sea falsa.