Teoria Numeros C Ivorra Castillo

2.3. Módulos y órdenes 29
Demostración: 1) Si α ∈ O, entonces Z[α] ⊂ O (porque O un anillo),
luego luego Z[α] es finitamente generado (porque O es un módulo), luego por el
teorema 2.3 concluimos que α es entero.
Los conjugados de enteros son enteros (porque tienen el mismo polinomio
mínimo) y por lo tanto N(α) yTr(α) son enteros (son el producto o la suma de
los conjugados de α). Además son racionales.
2) Es evidente, por la propiedad multiplicativa de la norma.
3) Si a | b en O, entonces a/b es entero y racional.
4) Supongamos α ≠ 0 y consideremos el polinomio
p(x) = ( x − σ 1 (α) ) ···(x
− σ n (α) ) .
Los automorfismos de la clausura normal de K permutan los factores de
p(x), luego sus coeficientes son números racionales. Como α y sus conjugados
son enteros, también lo serán los coeficientes de p(x), es decir, son enteros
racionales.
El polinomio p(x) esmónico y su término independiente es ± N(α). Por
lo tanto podemos despejar N(α)/α como combinación de potencias de α con
coeficientes enteros racionales. Consecuentemente N(α)/α ∈ O.
5) Si N(ɛ) =±1 entonces ɛ | N(ɛ) =±1, luego ɛ es una unidad. Si ɛ es una
unidad entonces ɛ −1 ∈ O, yN(ɛ) N(ɛ −1 )=N(1) = 1, luego N(ɛ) =±1 (pues los
dos factores son enteros racionales).
Profundicemos ahora en la relación entre un módulo y su anillo de coeficientes.
En primer lugar tenemos lo siguiente:
Teorema 2.16 Sea K un cuerpo numérico. Entonces:
1. Dos módulos completos similares tienen el mismo anillo de coeficientes.
2. Si M es un módulo completo, existe un m ∈ Z no nulo tal que mM ⊂ O M .
Demostración: 1) es evidente.
2) Sea m 1 ,...,m n una base de M y α 1 ,...,α n una base de O M . Existen
números racionales a ij tales que m i = ∑ n
j=1 a ijα j . Si m es el producto de los
denominadores de los a ij se cumple que mm i ∈ O M , luego mM ⊂ O M .
Así pues, todo módulo es similar a otro contenido en su anillo de coeficientes,
pero es claro que si M ⊂ O M entonces M es un ideal de O M . Por lo tanto desde
un punto de vista teórico podemos limitarnos a trabajar con ideales de órdenes
en lugar de módulos. El recíproco también es cierto: todos los ideales de un
orden son módulos completos.
Teorema 2.17 Sea O un orden de un cuerpo numérico K. Los ideales no nulos
de O son módulos completos (aunque su anillo de coeficientes no es necesariamente
O).