Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo III
Factorización ideal
Vimos en el capítulo I que la factorización única en un anillo puede tener
muchas consecuencias sobre los números enteros. Kummer investigó la factorización
única en los anillos de enteros ciclotómicos de orden primo en relación
con el último teorema de Fermat, y su trabajo le llevó a un descubrimiento importantísimo.
En primer lugar observó que todo primo ciclotómico debía dividir
a un primo racional, por lo que la factorización única se reducía a probar que
todo primo racional se descompone en producto de primos, y se dedicó a buscar
factorizaciones explícitas en casos concretos para ratificar o refutar la conjetura
sobre la unicidad. Para cada primo racional, Kummer encontró argumentos
que le permitían predecir en cuántos primos ciclotómicos debía factorizar y con
qué multiplicidad y, para cada uno de los factores, encontró a su vez criterios
explícitos que le determinaban a qué enteros ciclotómicos debía dividir. Sólo
le faltaba encontrar los primos mismos. Con la ayuda de estos criterios le fue
relativamente fácil encontrarlos hasta que se enfrentó con la factorización del 43
en el anillo de enteros ciclotómicos correspondientes a p = 23. Para este caso
probó que la existencia de los factores primos que su teoría predecía conducía a
una contradicción. Sin embargo, en el tiempo que tardó en encontrar este ejemplo
de factorización no única, su teoría había mostrado tal grado de coherencia
y de capacidad de predicción que Kummer confió más en sus razonamientos
que en la evidencia a la que había llegado. Reforzando sus razonamientos para
no basarse en la hipotética factorización única, demostró que su teoría sobre
factores primos era consistente con independencia de que los primos en cuestión
existieran o no, es decir, que podía asignar a cada entero ciclotómico una descomposición
en factores primos que satisfacía las propiedades formales que se
cumplen en todo dominio de factorización única, aunque a veces, tales factores
resultaran ser, en sus propios términos, ‘factores ideales’. Más tarde, Dedekind
simplificó la teoría de divisores ideales de Kummer sustituyendo la construcción
formal axiomática por una construcción algebraica, en la que cada divisor ideal
era identificado con el conjunto de todos sus múltiplos ‘reales’. A su vez estos
conjuntos de múltiplos podían ser determinados mediante unas propiedades
muy simples: las que definen los ideales en el sentido moderno de la palabra. El
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