Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo XIV
Números trascendentes
Dedicamos este último capítulo a dar una pequeña muestra de las aplicaciones
de la teoría algebraica de números a las pruebas de trascendencia. Éstas
son esencialmente analíticas, pero requieren conceptos algebraicos elementales,
como la teoría de Galois (o al menos la teoría sobre polinomios simétricos) y los
enteros algebraicos. En realidad, los últimos avances en la teoría de números
trascendentes hacen uso de un aparato algebraico mucho más sofisticado, pero
no vamos a entrar en ello. Aquí probaremos dos resultados clásicos, el teorema
de Lindemann-Weierstrass, que data del siglo pasado, y el teorema de Gelfond-
Schneider, de 1934.
14.1 El teorema de Lindemann-Weierstrass
En 1873 Hermite demostró la trascendencia del número e. Anteriormente
ya se había probado que e no era racional. De hecho era conocido su desarrollo
en fracción continua, visto en el tema anterior. En 1882 Lindemann consiguió
generalizar el argumento de Hermite y demostró la trascendencia de π. Lindemann
afirmó que sus técnicas permitían probar de hecho un resultado mucho
más general. La primera prueba detallada de este resultado fue publicada por
Weierstrass y constituirá el contenido de esta sección junto con sus consecuencias
inmediatas. Necesitaremos dos resultados auxiliares.
Teorema 14.1 Sean f i (x) ∈ Z[x], i =1,...,r polinomios no constantes de
grado k i y para cada i sean β 1i ,...,β kii las raíces de f i (x). Supongamos que
son no nulas. Sean a i ∈ Z para i =0,...,r tales que a 0 ≠0. Entonces
r∑ ∑k i
a 0 + e β ki
≠0.
a i
i=1 k=1
Demostración: Supongamos que se cumple la igualdad. Vamos a expresar
cada e β ki
como
e β ki
= M ki + ɛ ki
M 0
, k =1,...,k i , i =1,...,r,
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