Teoria Numeros C Ivorra Castillo

3.1. Dominios de Dedekind 57
(vii) Todo ideal propio de D es producto de ideales primos.
En caso contrario sea a un ideal propio maximal entre los que no pueden
expresarse como producto de ideales primos. En particular a no es primo. Sea
p un ideal maximal tal que a ⊂ p. Como en (vi) concluimos que a ⊂ ap −1 ⊂ D
y de nuevo por (iv) y (iii), la primera inclusión es estricta.
Por la maximalidad de a tenemos que ap −1 = p 1 ···p r para ciertos ideales
primos p 1 ,...,p r . Por lo tanto a = p 1 ···p r p, en contra de la elección de a.
(viii) La descomposición de un ideal en primos es única salvo el orden.
Supongamos que un mismo ideal propio se expresa de dos formas
p 1 ···p r = q 1 ···q s
como producto de ideales primos (necesariamente no nulos) . Podemos suponer
que r ≤ s.
Entonces, puesto que p 1 es primo y q 1 ···q s ⊂ p 1 , ha de existir un índice i tal
que q i ⊂ p 1 . Reordenando podemos suponer que q 1 ⊂ p 1 y, por maximalidad,
de hecho q 1 = p 1 . Multiplicando por el inverso tenemos p 2 ···p r = q 2 ···q s .
Repitiendo el proceso llegamos a que p i = q i para i =1,...,r y (si r1 sea a i = ap −1
i
luego b | p 2 i , luego sería r =1.
b. Siap i ⊂ a i = ap −1
i
b entonces p i ⊂ p −1
i b,
Por lo tanto podemos tomar números α i ∈ a i \ ap i para i = 1,...,r y
α = α 1 + ··· + α r . Como cada α i ∈ a i ⊂ a, se cumple que α ∈ a. Si se
cumpliera que α ∈ ap i para algún i, entonces para j ≠ i tendríamos también