Teoria Numeros C Ivorra Castillo

7.4. Series en cuerpos no arquimedianos 179
Teorema 7.25 Sea K un cuerpo métrico discreto completo de característica 0.
Supongamos que v(r) =ev p (r) para todo número racional r ysea
( ) e
κ = E +1.
p − 1
Entonces las funciones
exp : p κ −→ K × p ,
log : 1 + p −→ K + p
son homomorfismos de grupos.
En general no es cierto que estas funciones sean una la inversa de la otra.
No obstante sí es cierto cuando restringimos el logaritmo a un dominio menor.
Teorema 7.26 En las condiciones del teorema anterior, exp : p κ −→ 1+p κ es
un isomorfismo y su inversa es log : 1 + p κ −→ p κ .
Demostración: En primer lugar demostraremos que exp : p κ −→ 1+p κ y
log : 1+p κ −→ p κ .Si1+x ∈ 1+p κ entonces v p (x) ≥ κ. En el caso 1 ≤ n ≤ p−1
se cumple v p (x n /n) ≥ nκ ≥ κ, mientras que si 2 ≤ p ≤ n tenemos
v p
( x
n
n
)
− κ ≥ (n − 1)κ − v p (n) > (n − 1)
=
(
e(n − 1) log p
log p p − 1 − log n )
≥ 0,
n − 1
e
p − 1 − e log n
log p
(usando que la función log t/(t − 1) es monótona decreciente para t ≥ 2).
Así, todos los términos de la serie log(1 + x) cumplen v p (x n /n) ≥ κ, yporla
continuidad de v p podemos concluir que v p
(
log(1+x)
)
≥ κ, o sea, log(1+x) ∈ A.
Sea ahora x ∈ A. Hemos de probar que v p (x n /n!) ≥ κ para n ≥ 1. Sea
p s ≤ n