Teoria Numeros C Ivorra Castillo

12.2. Sumas de Gauss y la ley de reciprocidad 305
Por otra parte, si consideramos la definición de G(p) tenemos
G(p) q =
( ∑p−1
( ) q
r
ω
p)
r ≡
r=1
∑p−1
r=1
( ( r q
ω
p)
qr = G q (p) = G(p) (mód q).
p)
Combinando las dos congruencias queda
( )
( p
′
q
G(p) ≡ G(p) q ≡ G(p) (mód q).
q
p)
Multiplicamos por G(p) y así (p ′ /q)p ′ ≡ (q/p)p ′ (mód q), de donde concluimos
( ( ) ( ) q p
′
(p−1)/2 ( )
( )
−1 p p
= =
=(−1)
p)
(q−1)(p−1)/4 .
q q
q q
Al igual que ocurre con el caso del 2, la demostración se simplifica si usamos
cuerpos finitos en lugar de congruencias. Para esta prueba necesitamos la versión
del teorema 12.5 en cuerpos finitos. De hecho el argumento que presentamos es
válido en cualquier cuerpo, lo que prueba que se trata de una relación puramente
algebraica.
Sean p y q primos impares distintos y sea ω una raíz p-ésima primitiva de la
unidad en una extensión de Z/qZ. Definimos la suma de Gauss
γ =
p∑
ω x2 .
x=1
Veamos que γ 2 =(−1) (p−1)/2 p. En principio tenemos
γ 2 =
p∑
xy=1
ω x2 +y 2 . (12.3)
Es fácil ver que la forma cuadrática x 2 + y 2 representa todas las clases
módulo p. Esto se sigue de los resultados vistos en capítulos anteriores, pero un
argumento elemental es el siguiente: dado, r, los polinomios x 2 e r − y 2 toman
(p +1)/2 valores distintos módulo p, luego ha de haber un x yuny tales que
x 2 = r − y 2 . Sea
G = { (x, y) ∈ Z/pZ × Z/pZ ∣ ∣ x 2 + y 2 ≠0 } .
Es claro que G es un grupo con el producto dado por
(x, y)(x ′ ,y ′ )=(xx ′ − yy ′ ,xy ′ + x ′ y).
El inverso de un par se calcula por la misma fórmula que el de un número
complejo. Además la aplicación (x, y) ↦→ x 2 + y 2 es un epimorfismo de G en U p .