Teoria Numeros C Ivorra Castillo

332 Capítulo 13. Cuerpos ciclotómicos
A su vez, que ɛ no sea de esta forma equivale a que algún c k no sea divisible
entre p, pues si dos unidades positivas ɛ y δ cumplen que ɛ p = δ p , entonces ɛ/δ
es una raíz p-ésima de la unidad positiva, lo que sólo es posible si ɛ = δ.
Si logramos probar que cuando ɛ cumple (13.7) todos los exponentes c k son
múltiplos de p, tendremos garantizado que p no divide divide a h 2 . La idea
de la demostración es tomar logaritmos para convertir la igualdad anterior en
una ecuación lineal en log θ k y probar una cierta independencia lineal de estos
logaritmos que nos dé las divisibilidades (algo análogo a cuando decimos que si
p | a + b √ 2 entonces p | a y p | b).
Sin embargo este argumento depende fuertemente de propiedades algebraicas
y es completamente inviable usando logaritmos habituales. En su lugar
habremos de usar logaritmos p-ádicos. Kummer no conocía los números p-
ádicos cuando realizó estos cálculos, pero éstos estaban implícitos en su trabajo
y fueron definidos poco después por Hensel. En realidad Kummer trabajó con
derivadas logarítmicas. La idea es que el cuerpo ciclotómico se puede identificar
con el cociente de Q[x] sobre el ideal generado por el polinomio ciclotómico. La
derivada logarítmica de un polinomio p(x) esp ′ (x)/p(x).
13.5 Numeros p-ádicos ciclotómicos
Sea p el único divisor primo de p en el cuerpo ciclotómico K. Consideramos
la valoración p-ádica v p según la definición 7.9, la cual induce a su vez el valor
absoluto
|α| p = ρ vp(α) , 0