Teoria Numeros C Ivorra Castillo

6.3. Grupos de clases 139
Al considerar relaciones no estrictas la biyección se estropea, porque M es
similar a −M y M es similar a −M, mientras que ax 2 +bxy +cy 2 es equivalente
a ax 2 − bxy + cy 2 (mediante el cambio x = x, y = −y) y−ax 2 − bxy − cy 2 es
equivalente a −ax 2 + bxy − cy 2 .
En los cuerpos imaginarios sólo tenemos las clases [M] y[M] (que pueden
ser la misma o no) y las clases de formas [ax 2 + bxy + cy 2 ], [ax 2 − bxy + cy 2 ] (las
dos restantes las eliminamos por definición). Aquí el problema es más simple:
las clases de formas se convierten en la misma al considerar la equivalencia no
estricta, mientras que las clases de módulos pueden seguir siendo distintas.
Es importante recordar, pues, que módulos estrictamente similares se corresponden
con formas estrictamente equivalentes y viceversa, pero que esto es
falso si consideramos relaciones no estrictas.
6.3 Grupos de clases
Vamos a definir un producto de módulos que induzca una estructura de grupo
en los conjuntos de clases de similitud estricta y no estricta de los módulos de
un orden cuadrático dado. En el caso de la similitud no estricta veremos que el
grupo así obtenido es el mismo grupo de clases que definimos en 4.16.
Definición 6.6 Sean M y M ′ dos módulos completos de un cuerpo cuadrático.
Elijamos dos bases M = 〈α, β〉, M ′ = 〈α ′ ,β ′ 〉. Llamaremos módulo producto al
módulo
MM ′ = 〈αα ′ ,αβ ′ ,βα ′ ,ββ ′ 〉 .
La definición no depende de la elección de las bases, pues MM ′ es, de hecho,
el módulo generado por los productos mm ′ con m ∈ M y m ′ ∈ M ′ (es fácil
ver que el producto es un módulo completo). Observemos que el producto de
ideales es un caso particular del producto de módulos. El producto de módulos es
conmutativo y asociativo. Los hechos más importantes en torno a este producto
se deducen del teorema siguiente:
Teorema 6.7 Si M es un módulo completo con anillo de coeficientes O y M
es su conjugado, entonces MM = N(M)O.
Demostración: Supongamos primero que M = 〈1,γ〉. Entonces, con la
notación del teorema 6.2, tenemos que
〈
MM = 〈1,γ,¯γ,γ¯γ〉 = 1,γ,−γ − b a , − c 〉 〈
= 1,γ, b a
a , c 〉
= 1 〈a, b, c, aγ〉 .
a a
Puesto que (a, b, c) = 1, todo entero racional es combinación lineal entera de
ellos, luego MM =(1/a) 〈1,aγ〉 = N(M)O.
Si M es un módulo arbitrario, M = αM ′ , donde M ′ tiene la forma anterior,
luego MM = αᾱM ′ M ′ = N(α) N(M ′ )O = | N(α)| N(M ′ )O = N(M)O.