Teoria Numeros C Ivorra Castillo

258 Capítulo 10. El Último Teorema de Fermat
Equivalentemente:
xω r + yω r−1 − yω − x ≡ 0(mód p). (10.3)
Notemos que si p divide a un entero ciclotómico α y tenemos una expresión
de α como combinación lineal entera de p − 1 potencias de ω, como éstas son
una base entera, es necesario que p divida a cada uno de los coeficientes. Usaremos
esto para probar que r = 1 descartando cualquier otra posibilidad (notar
también que podemos suponer p ≥ 5, ya que el caso p = 3 está probado).
Si r = 0 la congruencia (10.3) se convierte en yω −1 − yω ≡ 0 (mód p), luego
p | y, contradicción.
Si r = 2 queda xω 2 − x ≡ 0(mód p), luego p | x, contradicción.
Si r>2 todas las potencias de ω que aparecen en (10.3) son distintas, y
como sólo hay 4 3, llegamos
una vez más a la contradicción p | x.
Supongamos ahora que p | z (caso II). Sustituyamos z por p k z, donde ahora
z es primo con p. Tenemos entonces que x p + y p = p kp z p , donde x, y, z son
enteros primos con p.
En el anillo de enteros ciclotómicos, p factoriza como p = η(ω −1) p−1 , donde
η es una unidad. La ecuación se convierte en
x p + y p = ɛ(ω − 1) pm z p , (10.4)
donde ɛ es una unidad y m = k(p − 1) > 0.
Hemos de probar que esta ecuación no tiene soluciones enteras primas con
ω − 1. Para ello probaremos más en general que no existen enteros ciclotómicos
x, y, z primos con ω − 1 que satisfagan (10.4). Supongamos por reducción al
absurdo que existen enteros ciclotómicos que cumplan (10.4) con el menor valor
posible para m. Factorizando el miembro izquierdo de (10.4) tenemos
(x + y)(x + ωy) ···(x + ω p−1 y)=ɛ(ω − 1) pm z p . (10.5)
Sabemos que en el caso II el primo ω − 1 divide de hecho a todos los factores
de la izquierda. Más aún, la ecuación (10.2) implica que (ω − 1) 2 no divide a la
diferencia de dos cualesquiera de estos factores. Equivalentemente, los números
x + ω i y
, i =0,...,p− 1,
1 − ω
son no congruentes dos a dos módulo ω − 1.