Teoria Numeros C Ivorra Castillo

13.5. Numeros p-ádicos ciclotómicos 335
Si demostráramos que los números log θ p−1
k
forman una Z p -base del anillo
de los enteros p-ádicos reales, necesariamente los números c k /p serían enteros
p-ádicos, con lo que todos los c k serían múltiplos de p, que es lo que queremos
probar. No obstante es fácil ver que dicho anillo tiene rango m, mientras que
sólo tenemos m − 1 logaritmos log θ p−1
k
. Por lo tanto hemos de refinar nuestro
plan.
Ahora bien, si σ es un automorfismo de K p y ɛ es una unidad principal, ( es )
obvio que σ(ɛ) es también una unidad principal (pues v p (σ(ɛ) − 1) = v p ɛ − 1) ,
y por la continuidad σ(log ɛ) = log σ(ɛ), luego
Tr(log ɛ) = ∑ σ
σ(log ɛ) = ∑ σ
log σ(ɛ) = log ∏ σ
σ(ɛ) = log N(ɛ).
Si además ɛ es una unidad de K, como es el caso, entonces N(ɛ) = 1, luego
la traza de log ɛ es nula. Sea V el conjunto de los números p-ádicos reales de
traza nula. Claramente V es un espacio vectorial de dimensión m − 1 sobre Q p
ysiɛ es una unidad real de K tenemos que log ɛ p−1 ∈ V .
Nuestra intención es probar que los números log θ p−1
k
forman una Z p -base
del módulo formado por los enteros de V . Para ello buscaremos una base de
este módulo y estudiaremos si el determinante de la matriz de coordenadas de
los logaritmos en dicha base es una unidad de Z p . Esta base la obtendremos a
partir de la que nos proporciona el teorema 13.13, pero primero escogeremos un
primo π adecuado.
Veamos que existe un único primo π ∈ O p tal que
p = −π p−1 y π ≡ 1 − ω (mód p 2 ). (13.9)
Factorizando el polinomio ciclotómico y evaluando en 1 tenemos que
p =(1− ω)(1 − ω 2 ) ···(1 − ω p−1 ),
de donde
(1 + ω)(1 + ω + ω 2 ) ···(1 + ω + ···+ ω p−2 )=
p
(1 − ω) p−1 .
Teniendo en cuenta la expresión de la izquierda, este número es un entero
p-ádico. Tomamos congruencias módulo p en O p .
α =
−p
≡−2 · 3 ···(p − 1) ≡ 1 (mód p),
(1 − ω)
p−1
donde hemos usado el teorema de Wilson: (p − 1)! ≡−1 (mód p) (la prueba es
elemental: el polinomio x p−1 − 1 tiene por raíces a todos los elementos no nulos
de Z/pZ, luego su término independiente −1 es el producto de todos ellos).
Aplicamos el teorema 7.18 al polinomio f(x) =x p−1 − α. Tenemos que
f(1) ≡ 0 (mód p) y f ′ (1) = p − 1 ≢ 0 (mód p).