Teoria Numeros C Ivorra Castillo

124 Capítulo 5. Fracciones continuas
Puesto que las fracciones continuas (infinitas) representan números irracionales,
esto prueba que el número e no es racional. Más aún, que no es un irracional
cuadrático, pues la fracción continua que nos ha aparecido no es periódica.
Sea ahora
ξ = e2/m +1
2
=1+ 1
ω 0 − 1 .
Es inmediato que ξ =[1,m− 1, 3m, 5m,... ].
Para obtener el desarrollo en fracción continua de e necesitamos eliminar el
2 del denominador de ξ. Llamemos η = e 2/m =2ξ − 1. Vamos a exponer un
método general que permite calcular en muchos casos la fracción continua de
un número η a partir de la fracción continua de un número ξ cuando entre ellos
se da una relación del tipo
η = uξ + v
w ,
donde u y w son números naturales no nulos y v es un número entero.
Antes de enunciar el resultado principal hemos de observar que si a>1
entonces
[ ...,a]=[...,a− 1, 1],
por lo que un número racional admite siempre un desarrollo en fracción continua
de longitud par y otro de longitud impar.
También es útil notar que las fórmulas del teorema 5.2 son válidas para
n =0, 1 si convenimos en que p −1 =1,q −1 =0,p −2 =0,q −2 =1.
Teorema 5.14 Sea ξ =[a 0 ,a 1 ,a 2 ,... ] el desarrollo en fracción continua de un
irracional ξ. Seap n /q n el convergente n-simo y ξ n =[a n ,a n+1 ,a n+2 ,... ]. Sea
η =(uξ+v)/w, donde u, v, w son números enteros, u>0, w>0, uw = D>1.
Para un índice cualquiera n ≥ 1 desarrollamos el número racional
u[a 0 ,a 1 ,...,a n−1 ]+v
w
= up n−1 + vq n−1
wq n−1
=[b 0 ,b 1 ,...,b m−1 ]
eligiendo el final de modo que m ≡ n (mód 2). Sear j /s j el convergente j-ésimo
de este desarrollo, de modo que en particular se tiene
up n−1 + vq n−1
wq n−1
= r m−1
s m−1
. (5.7)
Entonces existen números enteros u ′ , v ′ , w ′ tales que
( u v
0 w
)( ) ( )( )
pn−1 p n−2 rm−1 r
=
m−2 u
′
v ′
q n−1 q n−2 s m−1 r m−2 0 w ′ ,
u ′ > 0, w ′ > 0, u ′ w ′ = D, −w ′ ≤ v ′ ≤ u ′ ,yη =[b 0 ,b 1 ,...,b m−1 ,η m ], donde
η m =(u ′ ξ n + v ′ )/w ′ .