Teoria Numeros C Ivorra Castillo

226 Capítulo 9. La teoría de los géneros
Pero [1] = [p i ]=[p i ][q i ], luego [q i ]=[p i ] −1 yasí
[a] = ∏ i
[p i ] ai−ui+vi−bi = ∏ i
[∏ ] 2.
[p i ] 2(ai−ui) = p ai−ui
i
i
El grupo de clases de un orden cuadrático se descompone en producto de grupos
cíclicos de órdenes potencias de primos (los llamados divisores elementales).
Digamos que
H = 〈c 1 〉×···×〈c r 〉×〈d 1 〉×···×〈d s 〉 , (9.7)
donde c 1 ,...,c r tienen orden 2 ti y d 1 ,...,d s tienen orden impar. Por consiguiente
el género principal es
G 0 = 〈 c 2 1〉
×···×
〈
c
2
r
〉
×
〈
d
2
1
〉
×···×
〈
d
2
2
〉
.
Pero d i = ( d 2 i
) (t−1)/2,
donde t es el orden de di , luego 〈 d 2 i
〉
= 〈di 〉,yasí
G 0 = 〈 c 2 1〉
×···×
〈
c
2
r
〉
×〈d1 〉×···×〈d s 〉 .
Esto nos da la siguiente expresión para el grupo de géneros:
G = H/G 0 = ( 〈c 1 〉 / 〈 c 2 1〉)
×···×
(
〈cr 〉 / 〈 c 2 r〉)
.
Resulta, pues, que el número de géneros es g =2 n , donde n es el número de
divisores elementales pares de H. Puesto que cada clase c 2t i −1
i tiene orden 2, el
grupo
〉
〉
A =
〈c 2t 1 −1
×···×
〈c ≤ H
1
2tr
−1
r
es isomorfo al grupo de géneros.
Pero por otro lado A = {C ∈ H | C 2 =1} (teniendo en cuenta (9.7), un
elemento de H tiene orden 2 si y sólo si todos sus factores tienen orden 2, si y
sólo si está enA).
Definición 9.20 Una clase C del grupo de clases estrictas H es ambigua si
cumple C 2 =1.
Hemos probado que el grupo de géneros es isomorfo al grupo de clases ambiguas.
Gauss demostró la ley de reciprocidad cuadrática contando el número
de clases ambiguas, que es lo que vamos a hacer a continuación. En lo sucesivo
consideraremos únicamente clases de similitud estricta en un orden cuadrático
maximal (trabajar en el caso general no aprovecharía para nada).
Si C es una clase de H, llamaremos C a la clase conjugada de C, es decir,
la formada por los módulos conjugados de los módulos de C. Si a es un ideal
y ā es su conjugado, entonces aā = ( N(a) ) , luego para toda clase C se cumple
que CC = 1. Por lo tanto C es una clase ambigua si y sólo si C = C.
Un ideal a es ambiguo si a = ā y no es divisible entre enteros racionales no
unitarios.