Teoria Numeros C Ivorra Castillo

130 Capítulo 5. Fracciones continuas
Para corregir los primeros coeficientes observamos que al pasar de ξ 0 a ξ ∗ 0
hemos restado 2 · 0, 2t, 2(t + 1), 2(5t + 2), 2(7t + 3), ... así como que los valores
de u i son 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2,...
Por lo tanto ahora hemos de sumar
0, t,4(t +1), 5t +2, 7t +3, 4(9t +5), 11t +7, 13t +9, 4(15t + 11), ...
Omitimos los detalles, pero no es difícil llegar a que la expresión final es
e 2/(2t+1) =[1, (1+6k)t +3k, (12+24k)t +6+12k, (5+6k)t +2+3k, 1, 1]
=[1, (1+6k)t +3k, (12+24k)t +6+12k, (5+6k)t +2+3k, 1] ∞ k=0.
La fórmula se simplifica bastante en el caso t = 0, que nos da
e 2 = [1, 3k, 6+12k, 2+3k, 1] ∞ k=0 =[1, 0, 6, 2+3k, 1, 1, 3+3k, 18+12k] ∞ k=0
= [7, 2+3k, 1, 1, 3+3k, 18 + 12k] ∞ k=0
Explícitamente:
e 2 =[7, 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, 12, 54,... ].