Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.1. Convergencia de la función dseta 271
Teorema 11.7 Sea K un cuerpo numérico de discriminante ∆, seaR el regulador
de K, seam el número de raíces de la unidad contenidas en K ysea
C una clase de similitud de ideales de K. Entonces la función j C (r), definida
como el número de ideales en C de norma menor o igual que r, verifica
j C (r) = 2s (2π) t R
m √ |∆ K | r + O(r1−1/n ).
Observar que en particular se cumple
j C (r)
lím = 2s (2π) t R
r→+∞ r m √ |∆ K | ,
y hay que destacar que este límite no depende de la clase C. De aquí se sigue
precisamente la conexión entre las funciones dseta y el número de clases de K.
Veámoslo.
Teorema 11.8 Con la notación del teorema anterior, se cumple
1. La función ζ C (s) converge uniformemente en los compactos de ]1, +∞[ y
existe
lím
s→1 +(s − 1)ζ C(s) = 2s (2π) t R
m √ |∆ K | ,
2. La función ζ K (s) converge uniformemente en los compactos de ]1, +∞[ y
donde h es el número de clases de K.
lím (s − 1)ζ K (s) = 2s (2π) t R
s→1 + m √ h, (11.9)
|∆ K |
Demostración: El segundo apartado es consecuencia clara del primero.
Para probar éste consideremos la sucesión {x n } que comienza con tantos unos
como ideales tiene C de norma 1, seguido de tantos doses como ideales tiene C
de norma 2, etc. Entonces
ζ C (s) = ∑ a∈C
∞
1
N(a) s = ∑
1
.
x s n=1 n
Claramente, j C (x n )eselnúmero de términos de la sucesión menores o iguales
que x n , luego claramente j C (x n − 1)