Teoria Numeros C Ivorra Castillo

8.6. Conclusión de la prueba 207
Teorema 8.41 (Legendre) Todo número natural es suma de cuatro cuadrados.
Demostración: Todo número natural a es de la forma a =4 n m, donde m
no es divisible entre 4. Si m es congruente con 1, 2, 3, 5, 6, módulo 8 entonces
a es suma de tres cuadrados. En caso contrario m ≡ 7 (mód 8) y por lo tanto
m − 1 ≡ 6 (mód 8) sí es suma de tres cuadrados.
Así pues, si m − 1=x 2 + y 2 + z 2 , tenemos que
a =4 n m =(2 n x) 2 +(2 n y) 2 +(2 n z) 2 +(2 n ) 2 .
Ejercicio: Probar que un número natural a es suma de dos cuadrados si y sólo sí los
primos impares que lo dividen con exponente impar son congruentes con 1 módulo 4.