Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.6. Cálculo de sistemas fundamentales de unidades 105
Volvamos, pues, al problema de hallar un sistema fundamental de unidades
de Q(ω), donde ω 7 = 1. Sea η = ω + ω 6 . Podemos trabajar en el cuerpo
Q(η). En el capítulo II (página 44) vimos que una base entera de este cuerpo es
{1,η,η 2 − 2}. Mediante las aproximaciones racionales de η dadas allí también
obtenemos fácilmente la norma de un entero arbitrario:
N ( a+bη +c(η 2 −2) ) = a 3 +b 3 +c 3 −a 2 b−2ab 2 −a 2 c+3b 2 c−2ac 2 −4bc 2 +3abc.
Así mismo podemos calcular la constante A =0 ′ 68 del teorema 4.25.
Si comenzamos a enumerar los enteros para buscar unidades enseguida encontramos
dos independientes, a saber η y1+η. Calculamos:
l(η) = (0 ′ 220724, −0 ′ 809587, 0 ′ 58886)
l(1 + η) = (0 ′ 809587, −0 ′ 58886, −0 ′ 220724)
Calculamos la proyección de l(1 + η) sobre el espacio ortogonal a l(η). Si la
llamamos x, ha de ser de la forma x = l(1+η)+λl(η), donde λ está determinado
por la ecuación ( l(1 + η)+λl(η) ) l(η) = 0. Calculando sale λ = −0 ′ 5y
x =(0 ′ 699225, −0 ′ 184069, −0 ′ 515156).
Ahora calculamos ρ = 1 2√
‖l(η)‖2 + ‖x‖ 2 = 0 ′ 68. Por lo tanto hemos de
comprobar todos los enteros cuyas coordenadas no superen en módulo la cota
A · 3 · e ρ =4 ′ 03.
Descartando duplicidades por el signo, hay 40 unidades a considerar. Puede
comprobarse que las representaciones logarítmicas de todas ellas tienen coordenadas
enteras respecto a la base l(η) yl(1+η). Por ejemplo, una de las unidades
es 3 − 2η +(η 2 − 2), cuya representación logarítmica resulta ser 2l(η) − 4l(1 + η).
Así llegamos a que un sistema fundamental de unidades de Q(ω) es{η, 1+η},
y por lo tanto cada unidad se expresa de forma única como
±ω i (ω + ω 6 ) m (1 + ω + ω 6 ) n ,
donde i, m, n son enteros racionales (0 ≤ i