Teoria Numeros C Ivorra Castillo

10.2. El teorema de Kummer 259
Como N(ω − 1) = p, estos números forman un conjunto completo de representantes
de las clases de congruencia módulo ω − 1.
En particular existe un único i entre 0 y p − 1 tal que (ω − 1) 2 | x + ω i y.Si
llamamos y a ω i y, se sigue cumpliendo (10.4) y ahora (ω − 1) 2 | x + y, mientras
que los factores restantes x+ω i y son divisibles entre ω−1 pero no entre (ω−1) 2 .
En consecuencia el miembro izquierdo de (10.5) es divisible entre (ω −1) p+1 ,
y en particular ha de ser m>1.
Sea m =(x, y). Como x e y son primos con ω − 1, lo mismo le ocurre a m.
Por lo tanto si i ≠ 0 tenemos que (x + ω i y)=(ω − 1)mc i , mientras que x + y
ha de ser divisible entre los p(m − 1) + 1 factores ω − 1 restantes que dividen el
miembro derecho de (10.5), es decir,
(x + y) =(ω − 1) p(m−1)+1 mc 0 .
Los ideales c i , para i =0,...,p− 1, son primos entre sí dos a dos, pues si
un primo p divide a dos de ellos, entonces mp divide a dos números x + ω i y,
x + ω j y, luego también divide a su suma y a su diferencia, es decir, a (ω − 1)y,
(ω − 1)x, luego a m =(x, y), pero esto es imposible.
La ecuación dada queda ahora del modo siguiente:
m p (ω − 1) pm c 0 c 1 ···c p−1 =(ω − 1) pm (z) p .
Puesto que los c i son primos entre sí, todos han de ser potencias p-ésimas.
Digamos que c i = b p i , con lo que
(x + y) = (ω − 1) p(m−1)+1 mb p 0 ,
(x + ω i y) = (ω − 1)mb p i , i =1,...,p− 1.
Despejamos m en la primera ecuación y lo sustituimos en la segunda:
(ω − 1) p(m−1) b p 0 (x + ωi y)=(x + y)b p i , i =1,...,p− 1. (10.6)
Esto implica que los ideales b p 0 y bp i son similares, luego (b i¯b 0 ) p es principal,
donde ¯b 0 = N(b 0 )/b 0 . Por la propiedad A de la definición de primo regular
concluimos que el ideal b i¯b0 también es principal, digamos b i¯b0 =(α i ). Multiplicando
por b 0 queda N(b 0 )b i =(α i )b 0 . Notar que tanto N(b 0 ) como (α i ) son
primos con ω − 1. Elevamos a p y sustituimos en (10.6):
(ω − 1) p(m−1) N(b 0 ) p (x + ω i y)=(x + y)(α i ) p , i =1,...,p− 1.
Eliminando los ideales queda
(ω − 1) p(m−1) N(b 0 ) p (x + ω i y)=ɛ i (x + y)α p i ,
donde ɛ i es una unidad, o equivalentemente
donde γ i = α i / N(b 0 ).
(ω − 1) p(m−1) (x + ω i y)=ɛ i (x + y)γ p i , (10.7)