Teoria Numeros C Ivorra Castillo

352 Capítulo 14. Números trascendentes
Demostración: Supongamos, por el contrario, que
c 1 e α1 + ···+ c n e αn =0. (14.3)
Podemos suponer que todos los coeficientes c i son no nulos. Multiplicando la
ecuación por un número natural suficientemente grande podemos suponer que
de hecho son enteros algebraicos. Veremos en primer lugar que podemos suponer
también que son enteros racionales.
Sean c i1 ,...,c iki los conjugados de cada c i . Entonces
∏k 1
i 1=1
···
k n
∏
i n=1
(c 1i1 e α1 + ···+ c nin e αn )=0,
pues entre los factores se encuentra (14.3). Operemos el polinomio
∏k 1
i 1=1
···
k n
∏
i n=1
(c 1i1 z 1 + ···+ c nin z n )= ∑ c h1,...,h n
z h1
1 ···zhn
donde el último sumatorio se extiende sobre todas las n-tuplas (h 1 ,...,h n )de
números naturales tales que h 1 + ···+ h n = N = k 1 + ···+ k n .
Si consideramos una extensión finita de Galois K de Q que contenga a todos
los números c ij , resulta que todo automorfismo de K permuta los números
c i1 ,...,c iki , luego deja invariante a este polinomio, lo que implica que sus coeficientes
c h1,...,h n
son números racionales. Como además son enteros, tenemos
que c h1,...,h n
∈ Z.
Sustituimos z i = e αi y nos queda
∏k 1
i 1=1
···
k n
∏
i n=1
(c 1i1 e α1 + ···+ c nin e αn )= ∑ c h1,...,h n
e h1α1+···+hnαn =
n ,
M∑
b i e βi ,
i=1
donde los coeficientes b i son enteros racionales obtenidos sumando los c h1,...,h n
que acompañan a un mismo exponente, es decir, según las hipótesis del teorema
anterior, por lo que alguno de ellos es no nulo (y claramente ha de haber al
menos dos no nulos). Los números b i son números algebraicos distintos, luego
tenemos una expresión como la original pero con coeficientes enteros.
A partir de ahora suponemos (14.3) con c i ∈ Z y donde α 1 ,...,α n son
números algebraicos distintos.
Sea f(x) ∈ Q[x] el producto de los polinomios mínimos de los números α i
(sin repetir dos veces el mismo factor). Sea m ≥ n el grado de f, sean γ 1 ,...,γ m
todas las raíces de f. Llamemos µ = m(m − 1)...(m − n + 1), al número de
n-tuplas posibles (i 1 ,...,i n )denúmeros distintos comprendidos entre 1 y m.
Entonces ∏
(c1 e γi 1 + ···+ cn e γin )=0,
donde el producto recorre las µ citadas n-tuplas. El producto es 0 porque entre
sus factores se encuentra (14.3).