Teoria Numeros C Ivorra Castillo

218 Capítulo 9. La teoría de los géneros
Este teorema tiene muchas consecuencias. La más importante es que, en
términos de módulos, los caracteres son homomorfismos de grupos:
Teorema 9.11 Si M y N son módulos de un mismo orden cuadrático O y p
es un primo, entonces χ p (MN)=χ p (M)χ p (N). En términos algebraicos, los
caracteres son homomorfismos del grupo de los módulos de O (o del grupo de
clases estrictas de O) en el grupo {±1}.
Demostración: Sean a y b ideales de O estrictamente similares a M y N
respectivamente y con normas primas con p. Entonces
χ p (MN) = χ p (ab) =χ ∗ ( ) ( ) ( )
p N(a) N(b) = χ
∗
p N(a) χ
∗
p N(b)
= χ p (a)χ p (b) =χ p (M)χ p (N).
Si O es un orden cuadrático, χ 1 ,...,χ m son sus caracteres, H es su grupo
de clases estrictas y llamamos C 2 = {±1}, entonces tenemos un homomorfismo
de grupos
χ : H −→ C 2
m veces
×···×C 2
que a cada clase le hace corresponder su sistema de caracteres. Dos clases de H
son del mismo género si y sólo si tienen la misma imagen por χ. En particular
el núcleo de χ es el género formado por las clases cuyos caracteres son todos
positivos. A este género lo llamaremos género principal G 0 . Los géneros son las
clases del grupo cociente H/G 0 . A este grupo lo llamaremos grupo de géneros
del orden O. Su orden es potencia de 2 (de hecho, divide a 2 m ). También
es obvio ahora que todos los géneros contienen el mismo número de clases de
similitud estricta.
Ejemplo En el capítulo VI calculamos el grupo de clases de Q (√ −161 ) . Vimos
que tiene orden 16, y está generado por las clases σ =[3 1 ], de orden 8, y
τ =[7 0 ], de orden 2. Sus formas cuadráticas asociadas son 3x 2 +2xy +54y 2 y
7x 2 +23y 2 , respectivamente. Por otro lado, el discriminante es ∆ = −4 · 7 · 23
y los caracteres a considerar son χ 2 (que se calcula con χ ∗ 2 = δ), χ 7 y χ 23 . D e
aquí obtenemos inmediatamente que los caracteres de σ son (−−+) y los de τ
son (− + −). Los restantes se calculan mediante el teorema 9.11:
1 +++ σ 4 +++ τ − + − τσ 4 − + −
σ −−+ σ 5 −−+ τσ + −− τσ 5 + −−
σ 2 +++ σ 6 +++ τσ 2 − + − τσ 6 − + −
σ 3 −−+ σ 7 −−+ τσ 3 + −− τσ 7 + −−
Vemos que aparecen cuatro géneros: (+ + +), (−−+), (− + −), (+ −−)y
que hay exactamente cuatro clases de cada género.
La única propiedad que observamos y que todavía no sabemos justificar es
por qué elnúmero de géneros siempre es la mitad del número máximo posible.