Teoria Numeros C Ivorra Castillo

114 Capítulo 5. Fracciones continuas
Demostración: Definimos a 0 = E(α) (la parte entera de α). Si α ≠[a 0 ],
entonces podemos escribir α = a 0 +1/α 1 para un cierto número real positivo
α 1 . Tomamos a 1 = E(α 1 ). Si a 1 = α 1 entonces α =[a 0 ,a 1 ]. En otro caso
α 1 = a 1 +1/α 2 para cierto número real positivo α 2 .
Si el proceso termina es que α es un número racional. Veamos que si no
termina obtenemos una fracción continua que converge a α.
Por construcción se tiene que α =[a 0 ,...,a n ,α n+1 ] (notar que el último
término no es un número natural, pero la definición vale igualmente).
Es fácil ver que la función [a 0 ,...,a n ,x] es monótona creciente cuando n es
impar y monótona decreciente cuando n es par. Como a n+1 = E(α n+1 )