Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.5. Representaciones por formas cuadráticas 237
de los primos que lo componen (mientras que en los ejemplos anteriores, f
representaba a un número si y sólo si representaba a todos los primos de su
parte libre de cuadrados).
Veamos de todos modos cuáles son las condiciones del teorema anterior.
Consideramos
U 20 = { [1], [3], [7], [9], [11], [13], [17], [19] } .
Los cuadrados son [1] y [9], luego ambos tienen carácter positivo. Calculamos
por ejemplo χ K (3)=(−20/3)=(1/3)=1,y1=χ K (3)χ K (9) = χ K (7), luego
las clases de escisión son { [1], [3], [7], [9] } .
Sabemos que un número está representado por una de las formas f o g si y
sólo si su parte libre de cuadrados consta de primos congruentes con 1, 3, 7, 9
módulo 20 además del 2 y el 5.
Esto lo cumplen ciertamente los números 2, 3 y 6, pero nada nos dice cómo
distinguir cuándo la forma que los representa es f y cuándo es g. La respuesta
nos la proporciona la teoría de géneros:
Teorema 9.31 Sea K un cuerpo cuadrático con discriminante ∆, seanm y k
números naturales primos entre sí yseaG un género del orden O m . Entonces k
está representado por una forma de género G siysólo si (k, ∆) p = χ p (G) para
todo primo p.
Demostración: La condición es necesaria por la propia definición de χ p .
Si un número k cumple esta condición, en particular cumple que (k, ∆) p =1
para todos los primos p ∤ ∆, luego por el teorema 9.30 sabemos que k está
representado por una forma f de discriminante m 2 ∆. Entonces
χ p (f) =(k, ∆) p = χ p (G),
luego la forma es de género G.
Notar que la representabilidad de un primo que no divide a m por una forma
de género G depende sólo de su resto módulo m 2 ∆.
Ejercicio: Probar que k está representado por una forma de género G si y sólo si G
(visto como conjunto de ideales)contiene un ideal de norma k.
Con esto podemos resolver el problema que teníamos planteado. Las formas
f y g son de géneros distintos, concretamente f es de género (++) y g es de
género (−−) (los caracteres relevantes son χ 2 y χ 5 ).
Un número k que cumpla las condiciones del teorema 9.30 estará representado
por la forma f si además cumple (k, −20) 2 =(k, −20) 5 = 1. En realidad
sabemos que los dos signos han de coincidir en cualquier caso, luego la condición
se puede reducir a (k, −20) 5 =1.
Si k =5 i r esto equivale a
(k, −20) 5 =(5, 5) i 5(5, −4) i 5(r, 5) 5 =(5, −1) i 5(5, −1) i 5(r, 5) 5 =(r/5) = 1.
Así, si k es representado por una de las formas f o g, será representado por
f si y sólo si el número r que resulta de eliminar el 5 en la descomposición en
primos de k cumple r ≡±1(mód 5). Esto confirma que es g quien representa
a2y3,peroesf quien representa a 6.