Teoria Numeros C Ivorra Castillo

350 Capítulo 14. Números trascendentes
Si en la definición de M ki descomponemos en factores el polinomio f(z)
obtenemos
∫ +∞
b Np−1
N
z p−1 ∏ r ∏k j
(z − β tj ) p e −z+β ki
j=1 t=1
M ki =
dz.
(p − 1)!
β ki
El camino de integración es z = u + β ki , luego dz = du. Al hacer el cambio
la integral se convierte en
M ki =
∫ +∞
0
b Np−1
N
(u + β ki ) p−1 u p e −u r ∏
(p − 1)!
j=1 t=1
∏k j
∗ (u + β ki − β tj ) p
donde el asterisco en el producto indica que falta el factor (t, j) =(k, i), que
hemos extraído como u p . Podemos redistribuir los coeficientes b N :
(b N u + b N β ki ) p−1 u p e −u ∏ r ∏k j
∗ (b N u + b N β ki − b N β tj ) p
M ki =
∫ +∞
0
j=1 t=1
(p − 1)!
Es fácil ver que, puesto que b N es el coeficiente director de un polinomio
cuyas raíces son los β ij , los números α ij = b N β ij son enteros algebraicos. Con
esta notación:
(b N u + α ki ) p−1 u p e −u ∏ r ∏k j
∗ (b N u + α ki − α tj ) p
M ki =
∫ +∞
0
Sumando obtenemos que
r∑ ∑k i
M ki =
donde
Φ(u) =
r∑
i=1
a i
i=1 k=1
∑k i
a i
k=1
∫ +∞
0
j=1 t=1
(p − 1)!
u p Φ(u)e −u
(p − 1)!
k j
du,
r∏ ∏
(b N u + α ki ) p−1 ∗ (b N u + α ki − α tj ) p .
j=1 t=1
Si consideramos una extensión finita de Galois K de Q que contenga a todos
los α ij , resulta que un automorfismo de K permuta los números α 1i ,...,α kii,
y se ve claramente que entonces deja invariante a Φ(u). Esto significa que
Φ(u) ∈ Q[u], y como los α ij son enteros, en realidad Φ(u) ∈ Z[u]. Digamos que
u p Φ(u) =
(N+1)p
∑
s=p+1
d s−1 u s−1 .
du,
du.
du.