Teoria Numeros C Ivorra Castillo

8.6. Conclusión de la prueba 203
Multiplicamos por ax 2 = c y queda
(
a x t − 1 ) 2 ( ) 2 2x
+ at = c.
t +1 t +1
Existe un γ ∈ K tal que γ ≠0yt = bγ 2 /a ≠ ±1. Esto se debe a que las
ecuaciones bγ 2 = ±1 tienen a lo sumo dos soluciones cada una, y K contiene al
menos un sexto elemento, aparte de las posibles cuatro soluciones y el 0.
Para este valor de t se cumple
(
a x t − 1 ) 2 ( ) 2 2xγ
+ b = c,
t +1 t +1
tal y como queríamos.
Sea ahora a 1 x 2 1 + ··· + a n x 2 n = 0 una representación de 0 de una forma
cuadrática diagonal sobre K.
Podemos ordenar las variables de modo que sean todas no nulas hasta x r
mientras que x r+1 = ··· = x n = 0. Obviamente r ≥ 2. Según lo probado,
existen α y β no nulos en K tales que a r x 2 r = a r α 2 + a r+1 β 2 .
Esto nos da una representación de 0 donde el número de variables no nulas ha
aumentado en una unidad. Repitiendo el proceso se llega a una representación
sin variables nulas.
Conclusión de la prueba de 8.30:
Consideremos ahora una forma con cuatro variables
aw 2 + bx 2 + cy 2 + dz 2 ,
donde, como en el caso n = 3, podemos suponer que los coeficientes son enteros
libres de cuadrados. Además, como la forma representa 0 en R, no todos los
coeficientes tienen el mismo signo. Podemos suponer que a>0yd