Teoria Numeros C Ivorra Castillo

6 Capítulo 1. Introducción a la teoría algebraica de números
Demostración: En primer lugar, y ha de ser impar, pues si fuera par,
y 2 + 2 sería divisible entre 2, pero no entre 4, mientras que x 3 sería divisible
entre 2, luego entre 8.
Ahora consideramos el anillo Z [√ −2 ] = {a + b √ −2 | a, b ∈ Z}. En este
anillo la ecuación factoriza en la forma
(
y +
√
−2
)(
y −
√
−2
)
= x 3 . (1.1)
Consideramos la norma N : Z [√ −2 ] −→ N dada por
N ( a + b √ −2 ) = ( a + b √ −2 )( a − b √ −2 ) = a 2 +2b 2 .
Es fácil ver que esta norma es multiplicativa (se trata de la norma de la
extensión Q (√ −2 )/ Q en el sentido de la teoría de cuerpos). Si x, y cumplen
la ecuación, entonces un divisor común c + d √ −2dey + √ −2ydey − √ −2
en Z [√ −2 ] dividiría también a su suma 2y y a su diferencia 2 √ −2. Tomando
normas, c 2 +2d 2 | 4y 2 , c 2 +2d 2 | 8. Por lo tanto c 2 +2d 2 | 4.
Las únicas posibilidades son c = ±1, d = 0 o bien c =0,d = ±1 o bien
c = ±2, d = 0. En los dos primeros casos obtenemos una unidad y en los otros
obtenemos un elemento de norma 2o4,quenopuede dividir a y + √ −2, cuya
norma es y 2 + 2, impar.
Así pues, y + √ −2, y − √ −2 son primos entre sí. Ahora bien, si dos números
primos entre sí son un cubo, tal y como afirma (1.1), entonces cada uno de ellos
lo es, es decir, y + √ −2= ( a + b √ −2 ) 3
para ciertos enteros a y b.
Igualando los coeficientes de obtenemos que 1 = b(3a 2 − 2b 2 ), lo que sólo es
posible si b =1ya = ±1, de donde y = ±5 yporlotantox =3.
En realidad la prueba anterior tiene una laguna: si un producto de números
primos entre sí es un cubo perfecto, cada factor será también un cubo perfecto
siempre y cuando se trate de elementos de un anillo con factorización única,
es decir, donde todo elemento se descomponga de forma única (salvo orden y
asociación) en producto de primos, y además cada unidad sea un cubo. Lo cierto
es que el anillo Z [√ −2 ] tiene estas propiedades, pero no lo hemos justificado.
Ejercicio: Probar que las únicas unidades del anillo Z [√ −2 ] son ±1.
Ejemplo
En el anillo Z [√ −5 ] tenemos las factorizaciones
6=2· 3= ( 1+ √ −5 )( 1+ √ −5 ) . (1.2)
Si consideramos la norma N ( x + y √ −5 ) = x 2 +5y 2 vemos que, al igual que en
el caso de Z [√ −2 ] , conserva productos, y los únicos elementos de norma 1 son
±1. Además no hay elementos de norma 2 o 3. De todo esto se sigue que los
cuatro factores de (1.2) son irreducibles y no asociados, pues tienen norma 4, 9
y 6, luego un factor propio de cualquiera de ellos habría de tener norma 2 o 3.
Por consiguiente nos encontramos ante una doble factorización en irreducibles
no primos.