Teoria Numeros C Ivorra Castillo

328 Capítulo 13. Cuerpos ciclotómicos
Esto nos permite reformular como sigue el teorema 13.3:
Teorema 13.11 Sea p un primo impar. Entonces p no divide al primer factor
del número de clases del cuerpo ciclotómico p-ésimo si y sólo si p no divide a
los numeradores de los números de Bernoulli B 2 ,B 4 ,...,B p−3 .
Demostración: La condición equivalente que proporciona el teorema 13.3
es que p 2 no ha de dividir a las sumas S k (p) para k =2, 4,...,p− 3. Por el
teorema anterior esto equivale a que p 2 no divida a pB k en el anillo de los p-
enteros, y como p no divide a los denominadores de los B k , esto equivale a que
p no divida a los numeradores de los B k .
13.4 El segundo factor del número de clases
El segundo factor del número de clases contiene el regulador del cuerpo
ciclotómico, lo que impide encontrar una expresión sencilla para calcularlo. Sin
embargo su relación con las unidades a través del regulador nos dará información
vital para probar que la condición A de la definición de primo regular implica
la condición B.
Para desarrollarlo hemos de evaluar en 1 las funciones L correspondientes a
los caracteres pares χ 2r , para lo que empleamos de nuevo los teoremas 11.31 y
12.2:
|L(1,χ 2r )| = |G(χ2r )|
p
∣ p−2
∑
¯χ 2r (g k ) log |1 − ω gk |
∣
∣ = √ 1 ∣∣∣∣ ∑p−2
ζ 2rk log |1 − ω gk |
p ∣ .
k=0
En la última serie cada sumando se repite dos veces. En efecto, para cada
0 ≤ k