Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.1. Convergencia de la función dseta 263
11.1 Convergencia de la función dseta
Definición 11.1 Sea K un cuerpo numérico. Se llama función dseta de Dedekind
de K a la función
ζ K (s) = ∑ 1
N(a) s ,
a
donde a recorre todos los ideales no nulos de K.
Observar que la función dseta de Q es precisamente la función dseta de
Riemann.
Nuestro primer problema es demostrar que esta serie converge para s>1.
Si llamamos h al número de clases de K podemos descomponerla en suma de h
series como sigue:
ζ K (s) = ∑ ∑ 1
N(a) s ,
C a∈C
donde C recorre las clases de similitud de ideales de K.
Para probar la convergencia de la serie completa es suficiente probar la de
las series
ζ C (s) = ∑ a∈C
1
N(a) s .
En primer lugar las reescribimos para que el conjunto de índices sea el de
los números naturales, como es habitual. Para ello llamamos f C (n) alnúmero
de ideales de C de norma n, con lo que
ζ C (s) =
∞∑
n=1
f C (n)
n s .
La convergencia la obtendremos a partir de una estimación de la sucesión
de coeficientes. En realidad estimaremos la función j C (r) que da el número de
ideales de C de norma menor o igual que r.
Fijamos un ideal b perteneciente a la clase inversa C −1 en el grupo de clases.
Entonces para cada ideal a ∈ C el producto ab está en la clase principal, es decir,
es un ideal principal ab =(α). La aplicación que a cada ideal a ∈ C le asigna el
ideal ab es una biyección entre los ideales de C y los ideales principales (α) de
K divisibles entre b. Además N(a) N(b) =| N(α)|, luego j C (r) eselnúmero de
ideales principales de K divisibles entre b y de norma menor o igual que r N(b).
En lugar de contar ideales principales contaremos enteros α ∈ b tales que
| N(α)| ≤ r N(b), pero para no contar varias veces—infinitas, de hecho— el
mismo ideal, hemos de considerar sólo un representante de cada clase de equivalencia
respecto a la asociación.
El proceso de selección de los representantes lo llevaremos a cabo con la
ayuda de los métodos geométricos desarrollados en el capítulo IV. Conservamos